Há diversos tipos de equações diferenciais!. Com efeito, num dado curso de equações diferenciais, um dos primeiros conceitos que somos deparados se refere as classificações das equações diferenciais, uma vez que essas equações possuem diversas sutilezas e fatores que influenciam em seus aspectos gerais (Soluções, Ansatz, comportamento, estabilidade). Dessa forma, segue que quaisquer alterações nos termos de uma equação diferencial influencia de modo a termos novos tipos de equações diferenciais.
Nesse sentido, vamos nesse texto apresentar um tutorial simples e prático com respeito a classificação dos tipos de equações diferenciais. Assim, ao longo das seções que seguem o texto abordaremos os principais elementos que classificam as equações diferenciais e comentaremos tanto como você poderá identificar esses tipos como também a importância desses tipos de equações.
Entendendo os tipos de equações diferenciais
Com efeito, as equações diferenciais são um tipo específico de equação que essencialmente útil em física e em aplicações matemáticas como as que seguem em modelagem matemática. Em suma, o elemento primordial que caracteriza essas equações é o fato de que o objetivo em resolver uma equação diferencial é determinar uma função f que está associada a derivadas de uma função em uma dada expressão algébrica.
Assim, torna-se em essência muito complicado expressar forma geral de uma equação diferencial. Nesse sentido, nós recorrermos a casos particulares dessas equações os quais nos permitem expressar de forma geral ou aproximada essas expressões abstratas. Assim, urgem as seguintes classificações:
- Tipo de equação diferencial com respeito a derivada: Ordinária ou Parcial,
- Classificação se a Equação é ou não linear,
- Classificação da ordem da equação,
- Classificação da homogeneidade ou não da equação.
Assim, seguindo essas ideias nas seções seguintes exploraremos cada um desses tópicos nas seções seguintes de forma prática, direta e com exemplos simples e ilustrativos.
Tipos de equações diferenciais: Ordinárias e Parciais
Então, seguindo os critérios apresentados anteriormente vamos começar a discussão com respeito aos tipos de equações diferenciais tendo em vista o tipo de derivada envolvida. Com efeito, a derivada de uma função pode ser de dois tipos: total ou parcial. Assim, dizemos que uma equação diferencial é ordinária (EDO) se ela contém apenas derivadas totais com respeito ao seu parâmetro independente e sua forma geral é dada a seguir.
Por outro lado, quando uma equação diferencial possui ao menos 1 derivada parcial da função, logo há mais do que 1 único parâmetro independente. Com efeito, nós chamamos essas equações de Equações Diferenciais Parciais e elas podem ter tantos parâmetros independentes quanto se queira. Ademais, segue que para o caso onde há dois parâmetros independentes a forma geral de uma EDP é a seguinte.
Então, vamos a alguns exemplos que ilustram bem essas características.
Classificação quanto a linearidade!
Agora, vamos verificar outro aspecto fundamental das equações diferenciais: a linearidade. Com efeito, esse aspecto das Equações é essencialmente muito importante em todas as áreas da física. Ademais, a linearidade e não linearidade seguem associados a forma com que a função y, ou suas derivadas, aparecem na expressão. Assim, segue que se as derivadas da função e/ou a função a ser determinada na expressão F aparecem elevadas a potência 1 temos que nossa equação diferencial linear.
Desse modo, podemos exemplificar esse problema usando os mesmos conjuntos de equações usados anteriormente. Com efeito, veja que temos então a seguinte classificação.
Além disso, vale ressaltar um aspecto interessante sobre a linearidade das equações diferenciais. Em suma, quando temos uma equação linear sabemos que dado o conhecimento de duas ou mais soluções dessa equação sua soma (ou melhor, sua combinação linear) também é uma solução. Com efeito, essa propriedade é chamado de princípio da superposição linear.
Por outro lado, para as equações não lineares sequer temos regras estritas e rigorosas para suas soluções. No entanto, há tipos famosos de equações como as de Riccati e Bernoulli que possuem técnicas específicas para serem resolvidas. Portanto, devem ser resolvidas a parte.
Tipos de equações diferenciais: Ordem das equações
Assim, vamos agora investigar a ordem das equações diferenciais. Nesse sentido, segue que a ordem de uma equação diferencial é obtida olhando a ordem da derivada associada. Em suma, a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem da derivada que aparece na sua expressão F.
Então, tendo em vista nosso problema segue que a classificação das equações que usamos como exemplo é a seguinte
Ademais, vale ressaltar que saber identificar a ordem de uma equação diferencial é muito importante tendo em vista que sua ordem determina a nossa capacidade de resolvê-la analiticamente ou não. Com efeito, a teoria das equações diferenciais, por mais robusta que seja, ainda não nos oferece formas universais de tratarmos e resolvermos toda e qualquer equação diferencial existente. Assim, apenas equações de baixas ordens, em geral, possuem solução analítica.
Homogeneidade de Equações: Classificação!
Por conseguinte, vamos avaliar as equações com respeito ao aspecto de homogeneidade. Em suma, a homogeneidade de equações diferenciais é associada a quando em nossa expressão temos um termo que não e associado apenas a função mas contém a variável independente. Assim, dizemos que uma equação diferencial é homogênea se não há qualquer função somada na expressão F que componha apenas termos independentes. Por outro lado, dizemos que nossa equação é não homogênea se há algum termo não homogêneo (função apenas das variáveis independentes).
Portanto, usando essa classificação em nossos exemplos problemas temos o seguinte
Referências
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