O sistema cilíndrico de coordenadas ou as coordenadas cilíndricas são um sistema de coordenadas que generaliza um pouco o sistema de coordenadas polares e é muito útil para a descrição de diversos problemas no cálculo diferencial e integral. Com efeito, ao passo que as coordenadas polares introduzem as variáveis radiais e polares segue que quando consideramos sistemas cilíndricos temos além dessas uma variável em relação a altura z. Assim, esse sistema de coordenada generaliza o anterior ao passo que nos dá uma descrição parametrizada do espaço euclidiano.
Ademais, as coordenadas cilíndricas são verdadeiras ferramentas poderosas para o desenvolvimento do cálculo de diversas integrais triplas. Nesse sentido, hoje nós da MeuGuru decidimos trazer esse texto para você gurunauta. Decerto, aqui faremos um tutorial rápido e direto com foco em aplicar diretamente esse assunto no cálculo de integrais triplas. Assim, destacaremos a determinação da transformação das coordenadas cartesianas para cilíndricas, o jacobiano da transformação e por fim faremos a solução de um exemplo passo a passo resolvido com você querido gurunauta!.
Definindo o sistema cilíndrico
Agora, vamos entender como definir o sistema cilíndrico de coordenadas. Com efeito, as coordenadas cilíndricas podem ser definidas de forma essencialmente similar ao que fazemos no sistema de coordenadas polares. De fato, esse sistema é em essência apenas uma extensão direta do sistema polar onde agora vamos estar definindo um conjunto sobre o espaço euclidiano. Assim, estaremos realizando uma descrição sobre três componentes espaciais.
Nesse sentido, veja que podemos esboçar graficamente uma representação de um ponto (x,y,z) do sistema cartesiano como um ponto (r,θ, z) do sistema cilíndrico conforme a lei de transformação que explicitamos a seguir.
Com efeito, note que em suma o que fizemos é essencialmente tomar o sistema polar e então permitir que a região polar ganhe uma determinada altura z = f(x,y) no eixo das cotas. Com isso, sob essas condições nós conseguimos estabelecer o sistema de coordenadas e ainda sua lei de transformação.
Assim gurunauta, se você estiver interessado em entender de forma prática pode pensar, sem dor na consciência, que estamos apenas colocando um eixo z no sistema polar!. Ademais, nem duvide que a mudança de coordenadas aqui nos levará ao mesmo jacobiano que definimos no artigo sobre coordenadas polares aqui do nosso blog.
O jacobiano das coordenadas cilíndricas
Decerto, ao passo que mudamos de um sistema de coordenadas para outro uma questão eventual que surge é como podemos estabelecer uma correspondência entre os termos infinitesimais dos dois sistemas. De fato, nem sempre essa correspondência é imediata, assim, a forma mais precisa de se estabelecer tal associação se dá através do cálculo do jacobiano da transformação.
Com efeito, o jacobiano da transformação consiste num cálculo simples de um determinante que associa as derivadas das componentes do sistema antigo com relação as variáveis do novo sistema. Nesse sentido, vamos calcular o jacobiano do sistema cilíndrico que estamos trabalhando. Certamente, você verá que aqui teremos apenas um determinante de ordem 3 e que o cálculo é essencialmente o mesmo que se estivermos fazendo o jacobiano das coordenadas polares.
Ademais, vale aqui lembrar que as variáveis no sistema antigo que é o cartesiano correspondem a x,y e z as quais serão vistas por nós como funções das variáveis r, θ e z conforme a lei definida na Figura 1. Assim, vamos ao cálculo do Jacobiano em passo a passo logo a seguir.
Com isso, obtemos que o fator de equivalência entre o elemento infinitesimal dV em coordenadas retangulares é igual a (dz)(rdr)(dθ ). Isto é:
- dV = dxdydz = dz rdr dθ = rdzdrdθ.
Escrevendo regiões no sistema cilíndrico
Com isso em mãos, já podemos então passar a uma parte prática desse artigo. Nesse sentido, vamos entender como é feita a determinação da região de integração de um sistema cilíndrico. Certamente, você já deve imaginar que direi que é muito parecido com que fazemos no sistema polar e de fato você está certo e é isso que eu diria ao menos de início.
Em verdade, a descrição é igual ao de sistemas polares para as variáveis x e y pois elas estão definindo para nós a descrição do plano. Entretanto, a variável z aqui pode nos trazer algumas complicações. Com efeito, você deve entender que a variável z delimita a altura da região que você está interessado em mensurar. Em particular, os limites inferiores e superiores darão a nós o conhecimento de entender o valor mínimo e máximo dessa altura.
Assim, podemos sintetizar isso na seguinte escrita:
- D = {(r,θ,z) \in |R3 | 0 ≤ r ≤ rmax, θmin≤ θ ≤ θmax,zmin(r,θ) ≤z≤ zmax(r,θ)}.
onde os rótulos min e max denotam os menores e maiores valores possíveis que cada variável poderá assumir. Em particular, é interessante que você note gurunauta que z pode ser sim uma função de r e θ e nesses casos teremos algumas complicações maiores na hora de fazer a integração, porém, nada fora do controle. Decerto, esse sistema de integração facilita e muito nossos cálculos.
Um exemplo passo a passo do cálculo de volume no sistema cilíndrico
Assim, vamos a aplicação do cálculo do volume de um sólido. Certamente, não poderíamos escolher outro problema se não a determinação do volume de um cilindro circular reto de altura h e raio R. Com efeito, esse problema talvez seja o mais elementar que podemos tratar e é o problema que justifica a nós a descrição do sistema como coordenadas cilíndricas. Nesse sentido, segue que vamos então exibir o problema e o conjunto de integração a seguir.
Com isso em mãos, segue que nosso único trabalho é realizar a integração. Ademais, vale aqui ressaltar que esse problema é essencialmente simples quando tratado em coordenadas cilíndricas, decerto, isso segue do fato que nosso sistema possui essa simetria. Assim, quando você for buscar aplicar seus desenvolvimentos em seus problemas via coordenadas cilíndricas pense se seu sistema tem essas simetrias, em geral, conjuntos com regiões associadas a curvas do tipo x^2+y^2 podem te levar a escolher esse sistema ou o sistema esférico, mas esse trabalharemos futuramente em um tutorial particular aqui no blog da MeuGuru.
Então, feita essa consideração, vamos exibir agora o passo a passo do cálculo do volume do sólido da Figura 2.
Referências
- STEWART, James. Cálculo: Funções de uma variável. 8ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
- MARSDEN, Jerrold E.; TROMBA, Anthony J. Vector Calculus. W. H. Freeman, 2011.
- BOAS, Mary L. Mathematical Methods in the Physical Sciences. John Wiley & Sons, 2005.
- SMITH, John; SILVA, Ana. Coordenadas cilíndricas: Uma abordagem matemática. Revista de Matemática Aplicada, v. 10, n. 2, p. 45-60, 2022.
- OLIVEIRA, Pedro; COSTA, Maria. Aplicações das coordenadas cilíndricas na física. Revista Brasileira de Física, v. 42, n. 3, p. 367-375, 2012.
- WOLFRAM RESEARCH. Coordenadas cilíndricas. MathWorld. Disponível em: http://mathworld.wolfram.com/CylindricalCoordinates.html. Acesso em: 8 nov. 2023.
- KHAN ACADEMY. Coordenadas cilíndricas. Khan Academy. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-polar-coordinates-and-parametric-equations/polar-coordinates/v/cylindrical-coordinates. Acesso em: 8 nov. 2023.
- MATHISFUN. Cylindrical Coordinates. MathIsFun. Disponível em: https://www.mathsisfun.com/polar-cylindrical-spherical-coordinates.html. Acesso em: 8 nov. 2023.
- WOLFRAM DEMONSTRATIONS PROJECT. Cylindrical Coordinates. Wolfram Demonstrations Project. Disponível em: https://demonstrations.wolfram.com/CylindricalCoordinates/. Acesso em: 8 nov. 2023.
- MATHWORLD – ERIC W. WEISSTEIN (WOLFRAM RESEARCH). Cylindrical Coordinates. MathWorld. Disponível em: https://mathworld.wolfram.com/CylindricalCoordinates.html. Acesso em: 8 nov. 2023.
