Derivadas é a análise de taxas de variação. Dessa maneira, quando calculamos a derivada de uma função em um ponto específico, obtemos a taxa de variação instantânea da função nesse ponto. Uma das aplicações de derivadas é encontrar os pontos críticos de funções.
Assim, ao encontrar os pontos críticos de uma função (onde a derivada é igual a zero ou é inexistente), podemos determinar os valores extremos locais da função, como ponto de inflexão, mínimos e máximos. Nesse sentido, essa informação é crucial em diversas áreas, como economia, engenharia e ciências naturais, onde muitas vezes buscamos otimizar alguma grandeza.
Gráfico ou derivadas?
Para determinar os pontos de máximo ou mínimo de uma função, é suficiente elaborar o gráfico correspondente e localizar esses pontos. Contudo, a elaboração dos gráficos de diversas funções pode ser uma tarefa desafiadora. É aqui que entram as derivadas das funções, tornando-se uma ferramenta valiosa para simplificar esse processo.
Ao invés de depender exclusivamente da visualização gráfica, as derivadas oferecem uma abordagem analítica que nos permite identificar os pontos críticos, onde a função atinge valores extremos. Esses pontos críticos são encontrados ao igualar a derivada da função a zero ou ao analisar a sua inexistência.
Então vamo lá
Primeiramente, vamos considerar o Ponto crítico de uma função derivável f é um ponto x=c do domínio de f no qual f ‘(c)=0. De forma um pouquinho mais simples, os pontos críticos (x=c) serão os valores de x onde a primeira derivada da função é igual a zero. Vamos a um exemplo:
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Função \[ f(x) = x^3 -2x^2 +x +10 \]
vamos calcular a primeira derivada
\[
\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx} ( x^3 -2x^2 +x +10)
\]
\[
\frac{df}{dx} = 3x^2 -4x +1
\]
Agora para encontrar os pontos críticos fazemos:
\[
\frac{df}{dx} = 0
\]
\[ 3x^2 -4x +1 = 0 \]
Assim temos dois pontos críticos x = 1/3 e x = 1
Com os pontos críticos…
Usamos o teste da segunda derivada.
Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, possuindo um ponto crítico x=c no interior de S, isto é, f ‘(c)=0.
- Se a derivada de f é positiva à esquerda de x=c e é negativa à direita de x=c, então x=c é um ponto de máximo para f.
- Se a derivada de f é negativa à esquerda de x=c e é positiva à direita de x=c, então x=c é um ponto de mínimo para f.
Vamos continar com o nosso exemplo
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Função \[ f(x) = x^3 -2x^2 +x +10 \]
\[
\frac{df}{dx} = 3x^2 -4x +1
\]
Sabemos que :
\[ \frac{d^{2}f}{dx^{2}} = \frac{d}{dx} \left ( \frac{df}{dx} \right )\]
Então temos:
\[ \frac{d^{2}f}{dx^{2}} = \frac{d}{dx} (3x^2 -4x +1)\]
\[ \frac{d^{2}f}{dx^{2}} = 6x -4\]
Assim temos dois pontos críticos x = 1/3 e x = 1, agora vamos definir o “tipo” de ponto crítico
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\[ \frac{d^{2}f}{dx^{2}} = 6x -4\]
Para x = 1/3
\[ \frac{d^{2}f}{dx^{2}}(1/3) = 6* \frac{1}{3} -4\]
\[ \frac{d^{2}f}{dx^{2}}(1/3) = -2\]
Para x = 1
\[ \frac{d^{2}f}{dx^{2}}(1) = 6*1 -4 \]
\[ \frac{d^{2}f}{dx^{2}}(1) = 2 \]
Como:
\[ \frac{d^{2}f}{dx^{2}}(1/3) > 0 \]
Então x = 1/3 é um ponto de mínimo local
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\[ \frac{d^{2}f}{dx^{2}} = 6x -4\]
Para x = 1
\[ \frac{d^{2}f}{dx^{2}}(1) = 6*1 -4 \]
\[ \frac{d^{2}f}{dx^{2}}(1) = 2 \]
Como:
\[ \frac{d^{2}f}{dx^{2}}(1) > 0 \]
Então x = 1 é um ponto de mínimo local
Teorema Pierre Fermat
O teste da derivada tem uma definição matemática, que e o Teorema Pierre Fermat, se uma função f possui um ponto de extremo (máximo ou mínimo) local em x=c e a função f é derivável neste ponto, então x=c é um ponto crítico, isto é, f ‘(c)=0.
- Pelo teorema, se x=c é um ponto de extremo local para f, a derivada de f se anula e passa uma reta tangente horizontal à curva y=f(x) no ponto (c, f(c)).
- Existem funções com um ponto crítico em x=c, que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f, como a função f(x)=x³ definida sobre a reta, x=0 é ponto crítico mas este não é um ponto de extremo para f.
- Se os pontos de extremos locais para f estiverem nas extremidades do domínio de f, as derivadas laterais de f poderão existir e ser não nulas. A função f(x)=1-x², definida sobre S=[-1,2] possui três extremos. x=-1 e x=2 são pontos de mínimo local e x=0 é um ponto de máximo local, mas f ‘(-1)=2 e f ‘(2)=-4.
Vamos dá uma olhada na nossa função e suas derivadas
Os pontos A e B são os pontos críticos e são os zeros da primeira derivada. Os pontos C e D são os pontos na função. Pela linha pasando pelos pontos AC e BD, vemos a intersecção a segunda derivada (reta azul), e assim temos o visual para a aplicação da primeira e segunda derivadas para os pontos críticos de uma função. Por fim, num próximo momento vamos resolver alguns exercícios, até a próxima!
