Séries de potências: Um tutorial introdutório

As séries de potências são um tema extremamente interessante no estudo do cálculo diferencial. Certamente, a ideia que permeia o assunto por si só é bastante rica uma vez que conseguimos aproximar funções extremamente complicadas por meio de uma série em que cada termo é proporcional a ao argumento da função a uma dada potência. Ademais, esse desenvolvimento além de ser um tema corriqueiro em cálculo é ainda de extrema relevância para várias áreas da matemática e das ciências aplicadas.

Então, com isso em vista, nós da MeuGuru decidimos trazer para você esse tutorial focado em séries de potências. Com efeito, aqui exploraremos esse assunto de forma aplicada, em que traremos rapidamente a teoria por trás do assunto e te mostraremos como você pode aplicá-lo na prática. Assim, nas nossas últimas seções te mostraremos como calcular a série de potências de duas funções bem conhecidas, as funções seno e cosseno e, por fim, aplicaremos esse resultado para evidenciarmos o regime das oscilações harmônicas e discutiremos os termos de oscilações bem mais gerais do que as comuns em livros textos introdutórios de física.

Conhecendo séries de potências

Antes de tudo é importante conhecermos a teoria com que estamos trabalhando. Assim sendo, vemos que esse assunto permeia a disciplina de cálculo 1 e/ou cálculo 2 a depender da estrutura curricular da instituição que estamos analisando. Ademais, os pré-requisitos que vemos para que você consiga compreender com totalidade o assunto é simplesmente as noções de derivadas e integrais além de conhecimentos prévios em polinômios, mas, é claro que, um conhecimento primário em séries é sempre desejável.

O que são séries na matemática ? – Iniciando com séries numéricas

Bom, nesse artigo até então estamos nos referindo sempre ao termo séries, mas será que você sabe exatamente o que esse termo está significando ?. Decerto, aqui série não se refere as séries como as que encontramos em algum Streaming da vida ou mesmo em plataformas de livre acesso, na verdade, essas séries são na verdade estruturas matemáticas muito bem definidas.

Em suma, no contexto da matemática, podemos descrever uma série como a adição de uma quantidade infinita de números e/ou quantidades a um número ou quantidade inicial determinado. Com intuito de exemplificar, podemos recorrer a um texto que já publicamos aqui em nosso blog sobre o paradoxo de Zenão , o qual descreve o movimento de uma tartaruga numa corrida sempre andando metade do percurso restante numa linha reta. Assim, pensando que a tartaruga andará uma distância de “d” metros inicialmente ela anda então d/2 metros e em seguida (d/2)/2 = d/4 metros e isso continua a estender-se de forma progressiva. Certamente, o total que ela andou pode ser computado se somarmos cada deslocamento o qual é feito a seguir.

onde essa soma irá se estender até o infinito. Essa soma pode ser escrita em uma forma compacta com o emprego do símbolo de somatório o qual nos permite escrever a seguinte expressão matemática

Nesse contexto, Zenão argumento a impossibilidade da tartaruga em fazer o percurso completo uma vez que estava sempre a percorrer distâncias menores. Entretanto, os desenvolvimentos matemáticos futuros mostrariam esse argumento seria falacioso, em suma é certo que podemos computar o valor dessa série empregando os conhecimentos associados a progressões geométricas como faremos a seguir.

revelando que a série infinita na verdade reduz-se ao valor d que é exatamente a distância total do percurso.

As séries de funções ! – generalizando séries numéricas

Acima nós começamos a discussão apresentando a série de Zenão a qual soma números e obtêm um valor finito ao fim de sua computação. Para além disso, podemos ainda generalizar a concepção matemática apresentada para além de somarmos números infinitamente termos a soma de funções. Certamente, essa ideia é bem mais robusta e engloba uma vasta extensão de assuntos que permeiam tópicos bem avançados da matemática, a citar um desses: a análise funcional.

Uma vez que podemos pensar em séries de funções temos uma grande possibilidade de desenvolvimentos a considerar, mas especificamente o tratamento com a função do tipo xⁿ que é a função potência de grau n é muito interessante. Com efeito, segue alguns pontos que fazem essa escolher ser essencialmente preferível.

• 1. Primeiro, a função potência é simples de ser estudada e inclusive conhecemos bem vários tratamentos para determinarmos zeros dessas funções para alguns valores de n, como por exemplo para n=2 o método de Bhaskara é suficiente para entendermos a função como um todo.
• 2. Segundo, uma série formada por termos desse tipo corresponde a irmos entender como graus maiores de n influenciam o nosso objetivo de estudo. Assim, podemos examinar diversas ordens de contribuições (isso será bem interessante em nossa aplicação).

Ademais, para exemplificarmos vamos considerar uma função f(x) dada por:

agora, perceba que se quisermos calcular f(1) temos então um somatório de avaliar o somatório de 1^n/n! = 1/n! que é nada mais que uma série de números. A partir disso fica claro que para cada série de funções, em particular as séries de potências como a mostrada acima, podemos obter uma série numérica que segue a medida que temos um argumento especificado. Ou seja, o valor de uma função num ponto x=a por exemplo é uma série numérica para o valor de x=a.

A série de Maclaurin e de Taylor

Uma vez que você já está mais familiarizado com a noção de séries de potências podemos então passar para os desenvolvimentos famosos de Maclaurin e Taylor. Com efeito, a possibilidade de escrever uma função qualquer em termos de uma série, em particular de uma série de potências é prático e poderoso. Visto que, ao passo que nos permite entender como complicadas funções se comportam avaliando apenas termos de potenciais. Nesse sentido, emerge a noção da série de Taylor a qual nos permite estabelecer um formalismo para determinar como uma função f(x), que seja k vezes derivável possa ser aproximada por uma série de funções.

Estabeleceremos agora a expansão em Taylor, consideremos f(x) que é k vezes derivável e seja um ponto “a” do seu domínio, então, a função f(x) pode ser expandida em torno do ponto “a” por meio de um polinômio de grau k que é dado por

em que c_n é o chamado coeficiente da expansão. Adicionalmente aqui cabe algumas ressalvas importantes que são as seguintes:

• caso o termo a = 0 o polinômio acima é chamado de polinômio de Maclaurin de grau k,
• caso a função f(x) seja infinitamente derivável, isso é k = ∞ com a≠0 segue que o polinômio de Taylor acima corresponde a série de Taylor da função f(x),
• além disso, caso k = ∞ com a =0 a série acima é dita série de Maclaurin.

Ou seja, vemos que a série de Maclaurin é um caso particular da série de Taylor e por isso muitas vezes nos referimos as séries de Taylor apenas tanto para significar a=0 ou a ≠ 0. Dessa forma, então podemos simplesmente aproximar qualquer função por uma série de potências próximo a um ponto de interesse.

Convergências de séries numéricas e de séries de potências

Por fim, é necessário falarmos sobre a noção de convergências de séries. Certamente, pode parecer estranho a uma primeira vista pensarmos que estamos somando vários termos, na verdade, que estamos somando infinitos termos e essa soma de infinitos elementos nos resulta em um valor finito. Em suma, essa questão está ligada a noção de convergência de séries a qual podemos estudar tanto para séries numéricas quanto para séries de potências.

De fato, há vários testes matemáticos rigorosos que permitem avaliar sob que condições uma determinada série numérica irá convergir bem como sob que condições séries de potências poderão convergir, uma vez que podemos determinar intervalos de convergência que garantem o bom comportamento da série no mesmo. Dentre esses testes, podemos citar o famoso teste da razão o qual podemos empregar em ambos os tipos de séries e ainda nos permite avaliar os intervalos de convergência e uma quantidade importante que é o raio de convergência.

Porém, visto que esse assunto é essencialmente grande logo logo faremos alguns artigos, uma possível trilogia de artigos cobrindo alguns dos critérios de convergência para essas séries.

Calculando as séries de potências das funções seno e cosseno

Então, agora que te apresentamos a formalidade e a discussão que permeia a fundamentação matemática envolvendo séries de potências podemos passar para a avaliação e determinação das séries das funções seno e cosseno. Em particular, faremos essa análise para o caso em que a = 0 e isso nos dará duas expressões bem interessantes para esse desenvolvimento, nesse sentido seguimos com os cálculos nas subseções seguintes.

Cálculo da série de potência para a função seno

Vamos computar os coeficientes c_n para isso utilizaremos a expressão que mostramos na seção anterior aplicando para o caso em que f(x) = sen(x), ademais definimos, por convenção, que a derivada de ordem n = 0 segue sendo a própria função. Dito isso temos o seguinte desenvolvimento matemático

agora gurunauta, perceba que após n = 4 nossa derivada voltou a ser exatamente a função seno. Em suma, isso acontece devido a periodicidade da derivada da função seno e nem duvide que teremos um resultado análogo para a função cosseno. Além disso, perceba que sempre os coeficientes pares irão ser nulos enquanto que apenas os coeficientes ímpares serão não nulos. Logo, é conveniente ver que nossa série será tal que os termos serão

• primeiro termo: c₁ que deve ser ajustado para n = 0, que é feito por n = 0 -> 1,
• segundo termo: c₃ que deve ser ajustado para n = 1, que é feito por n = 1-> 2+1,
• terceiro termo: c₅ que deve ser ajustado para n = 2, que é feito por n = 5 -> 4+1,
• n-ésimo termo: c_n que deve ser ajustado para n, que é feito por n -> 2n+1.

por outro lado, as potências de (-1) ficam bem definidas simplesmente com n. Desse modo, em virtude da ciclicidade da série de potências para a função seno segue que temos então a seguinte expressão

e obtemos o desejado que era a expressão da série de Taylor com a =0 (equivalente a série de MacLaurin) para a função seno.

Cálculo da série de potência para a função cosseno: Hora de você praticar !

Então gurunauta, agora podemos prosseguir com o cálculo da série de Taylor para a função cosseno. Todavia, frente ao desenvolvimento detalhado que fizemos anteriormente vamos deixar isso como um exercício para você, porém, seremos gentis e te deixaremos o gabarito a seguir:

Em suma, o cálculo é muito similar mas, como você verá apenas os termos pares restarão e todos os ímpares serão identicamente nulos.

Justificando as aproximações harmônicas com séries de potências.

Então, com intuito de trazermos uma situação prática para você gurunauta vamos comentar sobre as oscilações harmônicas. Na verdade, você pode encontrar um artigo bem detalhado e especificado quanto a isso, o qual aplicamos ao pêndulo essa análise. Tendo isso em vista, nós iremos simplesmente te mostrar como a a partir da equação do pêndulo com uso das séries de potências obtemos as oscilações harmônicas. Para isso, veja que a equação do pêndulo é a seguinte

onde w é a frequência angular de oscilação. Agora, perceba que conhecemos a expansão em Taylor para a função seno desse modo podemos escrever a seguinte expressão usando ela

que é o desenvolvimento geral para essa equação. Então, note que isso nos revela que quando nos limitamos apenas ao termo elevado a 1 estamos fazendo a aproximação do regime harmônico e desconsiderando os termos de altas ordens. Decerto, isso é interessante pois temos um problema simples e para quando o ângulo é pequeno certamente as potências maiores que 1 tendem a zerar.

Referências

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