A geometria analítica é um dos ramos da geometria com vários resultados extremamente elegantes e que além de bonitos podem te salvar em diversas questões de provas. Decerto, dentre os tópicos que contemplam a geometria analítica há um assunto específico que se mostra de grande valor, especialmente nas áreas da Física e aplicações. Com efeito, estamos nos referindo aos diferentes tipos de produtos que aparecem na geometria analítica, os quais chamaremos nesse artigo de produtos da G.A.
Assim, tendo isso em vista, nesse artigo nós dá MeuGuru traremos para você gurunauta um texto específico sobre os tópicos de produto escalar, produto vetorial e produto misto. Ademais, nós traremos além das especificações teóricas referentes a como esses cálculos são feitos as considerações com relação a interpretação geométrica desses produtos. Então, vem com a gente gurunauta que hoje iremos entrar dentro da G.A e explorar todas essas questões.
Novas formas de multiplicar !
Certamente, você tem o conhecimento de como realizar multiplicações. Entretanto, é importante que você saiba que dentro do escopo da matemática é possível que você defina operações como queira, desde que as mesmas sejam bem definidas, além disso, é possível ainda estabelecer relações matemáticas com outro objetos matemáticos além dos números usuais para os quais estamos acostumados a trabalhar. Com efeito, é nesse sentido que os produtos interno/escalar, vetorial e misto foram definidos.
De fato, dentro do escopo da geometria analítica os principais objetos matemáticos que estamos interessados em trabalhar, manipular e usar são vetores. Em verdade, os vetores diferem dos números por várias características, por exemplo, por possuírem norma, sentido, direção e formarem ainda mais os chamados espaços vetoriais os quais você deve conhecer em um curso de álgebra linear. Consequentemente, ao passo de termos novos objetos matemáticos é interessante que tenhamos formas de relacioná-los e manipulá-los, logo, é disso que emergem definições de operações matemáticas entre esses objetos.
Em particular, essas operações existem e já são muito bem estabelecidas matematicamente sendo essas os produtos escalar, vetorial e misto. Evidentemente, é sempre possível definir outras operações, desde que isso seja consistente matematicamente. Tendo isso em vista, nas seções seguintes exploraremos os três produtos que mencionamos, como calculá-los e suas interpretações geométricas.
O produto interno na geometria analítica
Então, agora iremos começar a tratar do nosso assunto principal, em particular, falaremos sobre o produto interno ou produto escalar. Decerto, o produto interno/escalar é uma das principais operações que você pode realizar com vetores. Em vedade, é importante que, antes de prosseguirmos, façamos uma ressalva com relação a esse produto, uma vez que, a noção de produto interno é muito mais geral do que a relação que apresentaremos, pois, podemos definir uma operação chamada de produto interno <. , .> entre dois vetores v de um espaço vetorial V qualquer.
Assim, o produto interno que somos apresentados aqui, no contexto da geometria analítica, é pertencente a classe dessas operações sendo assim, por vezes, chamado de produto escalar ou simplesmente por produto euclidiano. Com efeito, chamamos de produto interno euclidiano ou produto escalar entre dois vetores v = (x1,x2,…,xn) e u = (y1,y2,…,yn) que é definido como segue.
Observe que aqui nossos vetores possuem n componentes, em verdade, dentro do nosso contexto precisamos apenas de três componentes: (x,y,z) pois essas descrevem completamente nosso espaço euclidiano.
Sentido geométrico e ortogonalidade a partir do produto escalar
Ademais, uma importante característica desse produto diz respeito a sua interpretação geométrica. Em suma, a interpretação geométrica do produto escalar é, na verdade, a medição da projeção do um vetor v ao longo do vetor u. Não obstante, há ainda como obtermos o valor do ângulo θ entre os vetores u e v os quais obedecem a seguinte relação.
Essa relação é substancialmente importante pois ela permite que nós consigamos caracterizar aspectos geométricos entre os vetores, em particular, a sua angulação e consequentemente a ortogonalidade. Então, a partir disso, dizemos que dois vetores são ortogonais, isto é se o ângulo formado entre eles mede 90 graus ou pi/2 radianos se e, somente se, o produto interno entre esses vetores é nulo. De fato, basta ver que como u e v são vetores, não nulos por hipótese, a relação acima é nula se e somente se cos(θ) = 0 o que implica que o θ= 90 graus ou pi/2 radianos.
O produto vetorial na geometria analítica
Por outro lado, diferentemente do produto escalar o qual é um operação que nos retorna um número, o produto vetorial é aquele para o qual temos dois vetores e após seu uso temos um novo vetor. Então, consideremos os vetores u e v que agora, rotulamos suas componentes por u e v seguida dos índices x, y e z temos que o vetor obtido pelo produto vetorial entre u e v, que chamaremos de w= u X v é .
Ou seja, o produto vetorial origina um novo vetor a partir do cálculo de um determinante. Consequentemente, basta que você calcule o determinante acima que terá o produto vetorial para seus vetores desejados.
Interpretação geométrica do produto vetorial
Ademais, assim como o produto escalar possui interpretação geométrica, segue que o produto vetorial ainda o tem. Entretanto, aqui não é exatamente o produto vetorial que possui um sentido geométrico mas, sim, seu módulo o qual representa a área de um paralelogramo definido a partir dos vetores u e v.
Não obstante, é possível mostrar que esse módulo é
em que θ é o ângulo formado entre os vetores u e v que definem tal paralelogramo. Não obstante, há ainda um outro aspecto importante que devemos considerar quando nos referimos a esse produto. O qual tem haver com a relação de ortogonalidade definida anteriormente mediante produto escalar. Bom, ocorre que o novo vetor w que gera-se após o produto vetorial de u e v é mutualmente ortogonal a u e v ou seja o produto escalar entre w e u bem como o produto escalar entre w e v é indenticamente nulo e logo eles são mutualmente ortogonais.
O produto misto na geometria analítica
Por fim, resta a nós investigarmos o produto misto o qual é, na verdade, apenas uma sequência de operações sendo essas do produto vetorial e produto escalar, entre três vetores por exemplo u,v e k. Logo, o produto misto entre eles é dado por: k (u X v). Consequentemente, o produto misto é um número visto que após o produto vetorial calcula-se um produto escalar, porém, aqui temos três vetores em jogo. Ademais, a interpretação geométrica desse produto segue diretamente como sendo o volume do paralelepípedo que define-se pelos vetores k, u e v.
Referências
- ANTON, H.; RORRES, C. Algebra Linear com Aplicacoes. Porto Alegre: Bookman, 2012. ISBN 9788573078473. Disponível em: https://books.google.com.br/books?id=pOaaSKP9IcMC. Acesso em: 25 abr. 2024.
- BOULOS, P.; DE CAMARGO, I. Geometria Analítica: Um Tratamento Vetorial. 3ª ed. reimpressão. São Paulo: Pearson Universidades, 2004. ISBN 9788587918918. Disponível em: https://books.google.com.br/books?id=lmnqAAAACAAJ. Acesso em: 25 abr. 2024.
- STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2009. 408 p.
- IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. Fundamentos da Matemática Elementar: Volume Único. São Paulo: Atual, 2019.
