Pontos críticos são muito importantes quando se tratam de cálculos e engenharia. Por exemplo, qual é a carga máxima que uma estrutura pode resistir? Ou ainda, a quantidade de produtos do tipo A, tipo B e tipo C a serem produzidos para maximizar o lucro, considerando custos de produção e demanda? Já parou para pensar como estimar o pico de uma curva epidemiológica (ponto máximo) e, com isso, criar políticas públicas de contenção?
Sim, tudo isso é aplicação de cálculo derivado. Porém, com funções de uma variável, estávamos interessados em lugares onde a derivada é zero. Esses pontos eram candidatos a máximo ou mínimo de uma função. Além disso, podíamos definir também, com o auxílio das derivadas, o ponto de inflexão. Este marca uma mudança no comportamento da função (concavidade).
Se a primeira derivada não for zero (ou seja, não for um ponto crítico), temos, então, uma direção de crescimento ou decrescimento. Isso depende do comportamento ao mover em alguma direção. De forma simplista, a derivada indica o comportamento da função em um ponto.
Mas, as coisas são um pouquinho diferentes com funções de duas variáveis. Uma vez que só podemos encontrar um mínimo ou máximo para uma função se ambas as derivadas parciais forem zero ao mesmo tempo. Tais pontos se chamam pontos críticos, além dos pontos de máximo ou mínimo, um ponto crítico também poderá ser um ponto de Sela. Calma, vamos entender tudo isso, não precisa arrancar os cabelos!
Pontos Críticos: Como diferir pontos de máximo, mínimo ou de sela?
Primeiramente, os métodos que veremos são para definir o que chamamos de pontos críticos. E assim, quando um ponto crítico é classificado, ele será em ponto de máximo, mínimo e de sela, mas para classificar não será algo tão trivial quanto para função de uma variável (estudo de sinal da derivada segunda).
Então, vamos definir, o máximo ou mínimo de uma função de duas variáveis pode ocorrer na fronteira de uma região ou em seu interior. Inicialmente, analisaremos exemplos em que os máximos e mínimos estão no interior de uma região. Assim, iremos conseguir entender como identificar esses pontos críticos com precisão. Mas, antes de ir para a parte divertida, vamos a algumas definições.
Definições de Pontos Críticos
Definição 1: Considere z= f (x,y) uma função de duas variáveis. Dessa maneira também afirmamos que (x0,y0) ∈ D(f) é um ponto de máximo absoluto ou global da função f(x,y) se: ∀ (x,y) ∈ Df(x,y) → f (x,y) ≤ f(x0,y0). Assim, neste caso, chamamos f (x0,y0) de valor máximo da função.
Uma imagem vale mais de mil palavras, o que a definição 1 quer dizer está traduzido na figura, temos um ponto em todos os valores da função, dentro do seu domínio será inferior, e isso implica que é um ponto de máximo. Ahhh, mas e seu não conseguir fazer o gráfico? Calma! Vamos chegar lá…conhecimento é de pouquinho em pouquinho!
Definição 2: Com a nossa mesma função geral z = f (x,y), existirá um máximo local no ponto (x0,y0), se existir um disco aberto em ℝ contendo o ponto, de forma que, f(x,y) ≤ f (x0,y0) para todos os pontos dessa função em ℝ. Lembra, que estamos falando de função de duas variáveis, ou seja, com domínio da função é em ℝ2.
Tá, já sei, não entendeu nada? Ou difícil de entender? Então vamos visualizar, nada melhor que… isso mesmo, uma imagem!
As definições 3 e 4, são análogas, porém, em vez de “todos os pontos serem maiores”, eles serão menores e assim definimos o ponto mínimo, hahaha, vamos ficar só com as imagens (que valem bilhões).
Os máximos locais e mínimos locais de uma função são chamados, em conjunto, de extremos dessa função (pontos críticos). Em outras palavras, uma função admite um extremo em um determinado ponto se ela apresenta, nesse ponto, um máximo ou um mínimo local. Chega de definições, vamos a parte divertida do negócio, quer dizer, ainda falta definirmos o que é ponto de sela, mas falaremos disso depois, ainda hoje!
Condições necessárias para existência de um extremo
Se a nossa querida função z = f (x,y) tiver um ponto crítico, x1 = x0 e y = y0 e, claro, for derivável, então cada derivada parcial de primeira ordem de z nesse ponto será nula (igual a zero), ou não existiram. Isso implica que: 𝜕f/𝜕x = 0, 𝜕f/𝜕y = 0 e caso a função tenha mais de três variáveis 𝜕f/𝜕w = 0 ou qual seja a variável.
Lembrando que TODAS as derivadas parciais devem ser igual a zero, ou nulas, ao mesmo tempo. Isso implica, que na maioria dos casos teremos que resolver algum sistema de equações.
Uma outra forma matemática de definir é o vetor gradiente igual a zero, isso é
O que dá na mesma, um ou outro, mas são as formas apresentadas nas universidades nesse Brasilzão de meu Deus.
Definição se ponto crítico é máximo, mínimo ou sela
Lembra do Cálculo I, onde utilizávamos a segunda derivada para classificar máximos, mínimos e pontos de inflexão? Pois bem, o conceito se aplica aqui também. Contudo, para funções de duas ou mais variáveis, o processo é um pouco mais elaborado.
Nesse caso, utilizamos a matriz Hessiana (H) ou o Teste Discriminante (D). Ambos têm o mesmo objetivo, mas a abordagem depende do método ensinado. Muitos professores preferem apresentar o D(x, y) já como uma fórmula pronta. No entanto, iremos desenvolver o conceito a partir da matriz Hessiana. Isso é importante, pois ao lidar com funções de três ou mais variáveis, o entendimento da Hessiana será essencial para classificar os extremos.
Ao compreender a matriz Hessiana, você estará preparado para análises mais complexas e aplicáveis a problemas reais que envolvam múltiplas variáveis.
Matriz Hessiana
A matriz Hessiana foi introduzida no século XIX pelo matemático alemão Ludwig Otto Hesse. Curiosamente, ele a denominava de “determinantes funcionais”. Somente mais tarde, o nome Hessiana foi sugerido pelo britânico James Joseph Sylvester em homenagem ao trabalho de Hesse. Com isso, a matriz Hessiana não é apenas uma ferramenta matemática: ela também carrega uma rica história que reflete o desenvolvimento do cálculo e suas aplicações.
A matriz Hessiana de uma função f de n variáveis é uma matriz quadrada n×n, composta pelas derivadas parciais de segunda ordem (viu, precisamos das derivadas de segunda ordem). Essa matriz desempenha um papel crucial ao descrever a curvatura local da função e fornece informações detalhadas sobre o comportamento da função ao redor de um ponto crítico.
Devido a essa característica, a matriz Hessiana é amplamente utilizada em problemas de otimização, especialmente naqueles que não empregam métodos Newtonianos. Mas vamos “olhar” de novo, é mais fácil. Uma matriz hessiana para uma função de n variáveis.
Mas calma, calma, não criemos pânico, apenas para mostrar como seria para uma função de mais variáveis, porém, vamos ver direitinho para uma função f(x,y).
Critérios da Matriz Hessiana para definição dos pontos extremos
Certo, mas é uma matriz, encontro todas as derivadas parciais de segunda ordem, aplico no ponto desejado e continuo tendo uma matriz (com muitas aplicações)! Bem observado, jovem Padawan! A resposta é simples, utilizamos o determinante da matriz hessiana. Note, que é simples para função de duas variáveis (matriz 2×2), mas se for de três variáveis a matriz se torna de 3×3, quatro variáveis, 4×4 e a complexidade do determinante só aumentará.
Então, para o cálculo de pontos críticos, vamos escrevê-la como um determinante:
Resolvendo esse determinante é de onde sai a fórmula do discriminante D(x,y):
Com os seguintes critérios:
Viu, simples! Mas o que é o ponto de sela? Não definimos neh! Vamos lá, ele ocorre em uma superfície onde a declividade é nula (ou seja, o gradiente igual a zero), mas o ponto não representa um extremo local (nem máximo nem mínimo) (hessiana menor que zero). Ou seja, há uma elevação máxima em uma direção e, ao mesmo tempo, uma elevação mínima em uma direção perpendicular e tem esse nome, justamente por lembrar uma sela, veja a imagem.
E aí curtiu? Use essas dicas sem moderação, nos vemos na próxima com alguns exercícios, além das várias outras aplicações de derivadas de funções de várias variáveis como derivadas direcionais, até mais gurunhotos? Gurunautas? Até!
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