Séries de Taylor
As Séries de Taylor de uma função são somas infinitas de termos expressos em termos das derivadas da função em um único ponto. Esse conceito tem esse nome em homenagem ao matemático britânico Brook Taylor, foi introduzido no século XVIII. Basicamente, ao usar um número finito de termos na série, podemos obter uma boa aproximação da função original perto de um ponto específico. Além disso, quanto mais termos incluirmos, mais próxima a aproximação se torna da função real.
Mas o que isso significa na prática? Uma série de Taylor aproxima uma função em torno de um ponto. Em outras palavras, você escolhe um ponto e utiliza a derivada para estimar o quanto a função mudaria se você se afastasse desse ponto. Em seguida, você usa a segunda derivada para refinar essa estimativa. Depois disso, inclui a terceira derivada, e assim por diante, até atingir o nível de precisão desejado. Dessa forma, uma série de Taylor é, essencialmente, uma linguagem matemática que nos ajuda a fazer estimativas precisas.
Agora, você pode estar se perguntando: “Por que usar isso se já temos a função e podemos simplesmente calcular f(x) inserindo x?” A resposta é simples: na maioria das vezes, essas funções são extremamente complexas, tornando o cálculo direto incrivelmente difícil ou impraticável. Por isso, ao usar a Série de Taylor, você obtém uma aproximação eficiente que resulta em um polinômio limpo e organizado.
Em quais situações utilizamos as séries de Taylor?
Usamos as séries de Taylor principalmente em vários campos da física, matemática e engenharia. Elas fornecem uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, avaliar limites e analisar o comportamento de funções. Elas também formam a base para muitos métodos numéricos e algoritmos usados em cálculos científicos.
Dessa maneira, com a ajuda da série de Taylor, podemos facilmente encontrar a solução aproximada de funções complicadas. Ao truncar a série para um número finito de termos, podemos obter uma aproximação de uma função em torno de um ponto específico. Essa aproximação se torna mais precisa à medida que incluímos termos de ordem superior na série.
Mas como é?
Ao usar a série de Taylor, podemos encontrar as derivadas de qualquer função (derivadas sucessivas). Ao expressar uma função como uma série de Taylor, podemos diferenciar a série termo por termo, o que nos permite obter derivadas da função original em um determinado ponto. Assim, essa série desempenha um papel fundamental em métodos numéricos para resolver equações diferenciais, integrais e problemas de otimização. Técnicas como o método de Euler, o método de Runge-Kutta e o método de Newton Ao usar a série de Taylor, podemos encontrar as derivada de qualquer função (derivadas sucessivas).
Ao expressar uma função como uma série de Taylor, podemos diferenciar a série termo por termo, o que nos permite obter derivadas da função original em um determinado ponto. Assim, essa série desempenha um papel fundamental em métodos numéricos para resolver equações diferenciais, integrais e problemas de otimização. Técnicas como o método de Euler, o método de Runge-Kutta e o método de Newton dependem de expansões de séries de Taylor para aproximar soluções e as refinar interativamente.
Também podemos utilizar a série de Taylor na física e engenharia para simplificar modelos matemáticos complexos. Ao aproximar equações ou funções não lineares com a série de Taylor, fica mais fácil analisar e resolver problemas em campos como mecânica, eletromagnetismo, termodinâmica e sistemas de controle.
Localização de erros
A série de Taylor fornece uma estrutura para encontrar análises em cálculos aritméticos. Ao comparar a função original com sua aproximação da série, podemos estimar o erro introduzido pelo truncamento da série. Essas informações são valiosas para determinar a precisão e a convergência de métodos numéricos.
Em relação ao processamento de sinais, a série de Taylor pode ser usada para representar sinais como uma soma de funções seno e cosseno (série de Fourier). Essa decomposição permite a análise e a manipulação de sinais no domínio da frequência, levando a aplicações em processamento de imagens, compressão de áudio, telecomunicações e muito mais.
Já em relação às expansões de séries de Taylor são usadas para derivar funções geradoras de momento, que fornecem uma maneira conveniente de estudar as propriedades de variáveis aleatórias em probabilidade e estatística. A expansão ajuda a encontrar momentos, calcular probabilidades e aproximar distribuições.
E a fórmula da série de Taylor?
Considere uma função 𝑓 que tem uma representação de série de potências em 𝑥=𝑎 . Então a série tem a forma:
Assim, a série é igual a 𝑓(𝑎) se o coeficiente 𝑐₀ = 𝑓(𝑎). Além disso, gostaríamos que a primeira derivada da série de potências fosse igual a 𝑓′(𝑎) em 𝑥=𝑎. Diferenciando a equação termo a termo, vemos que:
Portanto, a derivada da série é igual a 𝑓′(𝑎) se o coeficiente 𝑐₁ = 𝑓′(𝑎). Continuando dessa forma, procuramos coeficientes 𝑐ₙ tais que todas as derivadas da série de potências. Vamos fazer as segunda e terceira derivadas de para vermos um “padrão” (é sempre importante encontrar o padrão de uma série).
Já percebeu alguma coisa? Não? Fique tranquilo… mas, agora, de forma empírica vamos nos arriscar a fazer a quarta, quinta e sexta derivada dessa equação?
Primeiro, vamos organizar o que temos para facilitar:
Se fizermos então𝑓″(𝑎) e 𝑓‴(𝑎), respectivamente, se 𝑐₂ = 𝑓″(𝑎)/2 e 𝑐₃ =𝑓‴(𝑎)/3.2 (há uma justificativa algébrica para tal, mas trazer aqui é só para espantá-lo, e na verdade tudo isso é só para você entender de onde saiu a fórmula da Série de Taylor). De forma mais geral, vemos que se 𝑓 tem uma representação de série de potências em 𝑥 = 𝑎 , então os coeficientes devem ser dados por 𝑐ₙ = 𝑓ⁿ (𝑎) / 𝑛! . Ou seja, a série deve ser:
E para a felicidade geral da nação a fórmula acima é a famosa “Expansão ou Série de Taylor”, sendo a fórmula geral para uma expansão em série de Taylor de uma função f(x) centrada em torno de um ponto qualquer “a”. Ao observar o comportamento localizado de uma função, muitas vezes podemos obter insights incríveis. É aqui que a série de Taylor é realmente útil. Simplificando, a série de Taylor é uma representação de uma função que pode nos ajudar a fazer matemática. Os usos da série de Taylor incluem variações analíticas e aproximações de funções.
Qual é a diferença entre séries de Taylor e séries de Maclaurin?
Então, o que é a Série de Maclaurin? Uma série de Taylor é um conceito matemático encontrado em ciência da computação, cálculo, química, física e outros campos da matemática superior. A estimativa (palpite) de uma função é criada usando uma série de operações. Então, quando a série de Taylor for centrada para a=0, temos a série de Maclaurin e simples assim, veja a imagem, comparando um com o outro para ficar mais claro!
Em matemática, uma série de Taylor ou polinômio de Taylor consiste em uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas de uma função em um único ponto. A série de Maclaurin é um caso especial da série de Taylor, que tem zero como ponto específico.
E aí, gostou? Até a próxima!
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