Fala gurunauta, nesse artigo vamos falar sobre matemática, formalismo e rigor. Hoje, quero te convidar a entender por que é necessário que tenhamos uma descrição formal das estruturas e objetos matemáticos.
Por que o formalismo é importante na matemática?
Bom, atire a primeira pedra quem nunca teve um professor que cobrou uma escrita milimétrica na resolução da questão. Ou ainda, quem nunca se deparou com um livro de cálculo recheado de epsilons e deltas que aparentemente sequer fazem sentido de existir. Ora, nós calculamos derivadas e integrais e sequer usamos esses símbolos.
De fato, questões como essas são corriqueiras no estudo da matemática, em particular, no ensino superior. Todavia, essas formalidades são essenciais, em verdade, são elas que permitem o correto uso das operações como derivada e integrais e dão o suporte para que as aplicações possam ser desenvolvidas.
Não apenas isso, mas o formalismo matemático assegura a definição precisa, não ambígua e única dos entes matemáticos. Assim, a matemática pode, inclusive, não ser posta como ciência visto que dado todo o formalismo e rigor que a engloba seus resultados tornam-se 100% precisos e não passíveis de estarem errados.
Nesse contexto, podemos inclusive dizer que a matemática é uma construção. Onde, os seus elementos são associados ao formalismo de modo a estabelecer as bases e resultados dessa incrível área. Tendo isso em vista, vamos explorar alguns desses elementos nesse artigo. Assim, você saberá como funciona a estrutura formal da matemática e terá maior clareza na sua mente quanto a isso. Então gurunauta, cola comigo e vamos juntos.
O que são axiomas na matemática?
Vamos começar pelos axiomas. Os axiomas compreendem os elementos mais básicos na matemática. Na verdade, esses elementos são postos como os entes mais simples, tão simples, que são intuitivos a nosso raciocínio. Portanto, já começamos a ver a base da matemática sendo estabelecida através de nada mais e nada menos do que nossas ideias intuitivas.
Exemplo de axiomas
Com a finalidade de exemplificarmos isso, vamos enunciar os axiomas de Peano para os números naturais, esses são:
- Existe um número, que chamamos ele de um e denotamos por 1 que é o primeiro número natural e não é sucedido por ninguém.
- Existe uma função S, injetiva, chamada função sucessora que para qualquer número natural n ela devolve o sucessor de n, isto é S(n) = sucessor de n.
- Se uma propriedade é válida para um número n0 e prova-se que se ela vale para o natural n então também vale para o natural n+1, então a propriedade vale para todo número natural.
Veja, os três tópicos acima constituem os axiomas de Peano para os números naturais. Em verdade, eles são básicos e elementares e totalmente intuitivos a nós. Veja, de fato é factível imaginar que os naturais, números criados para contagem, devem começar de algum lugar e esse lugar é o que chamamos de número 1. Além disso, a função sucessora é evidente de existir, ora, se estamos contando devemos ter, por exemplo: 1, 2, 3, 4, … ou seja, 1, S(1), S(2), S(3), … ou ainda: 1, S(1), S(S(1)), S(S(S(1))), … .Inclusive, com essa função é possível construir a operação de soma.
Por fim, o último axioma é o chamado princípio da indução finita. Basicamente, ele diz que se algo vale para um natural e para seu sucessor ele deverá valer para qualquer natural. Esse axioma é simplesmente uma recursão.
Término dos axiomas
Todavia, a partir dos axiomas, há uma vasta quantidade de elementos e objetos matemáticos serão construídos, em especial vamos destacar mais dois tipos: as definições e resultados.
Definições, definir para que?
Se pensarmos que esses entes matemáticos formam uma escada, então, teremos que o primeiro degrau é composto por axiomas enquanto que o segundo é formado pelas definições. Em suma, as definições são sentenças e/ou frases que dizem o que um novo objeto é a partir dos axiomas. Ou seja, nós podemos dar nome a novos elementos.
Exemplos de definições
Com a finalidade de mostrarmos o que, de fato, são definições. Vamos exibir uma definição, ainda no âmbito dos números naturais.
Definição 1. Definamos a operação +: |N x |N —> |N, que parte de N cartesiano N até N e chamamos de soma, por: (m,n) –> m+n = S^n(m). Isto é a soma de dois números naturais n e m é igual a iterada n-ésima do sucessor de m.
Nesse exemplo, utilizamos o axioma da função injetiva para construirmos um novo objeto matemático: a operação de soma entre dois naturais. Note que, a definição não requer prova, apenas é necessário que ela seja posta de forma correta e não ambígua, ou seja, que possa levar a resultados contraditórios.
Resultados na matemática
Por fim, temos os resultados na matemática. Vamos falar sobre esses, no entanto, desde já é bom você saber que há alguns tipos de resultados e que todos eles compartilham de algo em comum, devem ser provados.
Tipos de resultados na matemática
Os principais resultados são:
- Lema: É um resultado auxiliar, muitas vezes, é feito para deixar a demonstração de um Teorema mais enxuta ou garantir a maior clareza das ideias. Exemplos: Lema de zorn.
- Proposição: É um resultado mais forte que um Lema, no entanto, sem finalidade de estar associado essencialmente a prova de um Teorema.
- Teorema: É o resultado mais forte da matemática.
- Corolário: É um resultado que advêm de imediato do Teorema. O nome corolário faz alusão a coroa, que vem da tradição romana de presentear pessoa com coroas de flores. Assim, podemos entender o corolário como um presente vindo do Teorema.
Em geral, todos os resultados que são provados possuem a mesma estrutura quando enunciados, sendo essa composta por hipóteses e tese. As hipóteses são o conjunto de ponto de partida para o Teorema, são as bases onde o Teorema irá funcionar. Além disso, há ainda a tese, que essencialmente, é a ideia que o Teorema irá trazer a nós.
Exemplos de resultados na matemática
Um exemplo, também no âmbito dos naturais é o seguinte Teorema.
Teorema. (Princípio da Boa Ordenação) Todo subconjunto A dos naturais possui um elemento mínimo
onde em negrito temos as hipóteses e em itálico temos a Tese.
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