A transformada de Fourier é um dos assuntos mais importantes quando adentramos no campo das EDPs. Além disso, esse assunto é um dos temas quentes nos cursos de cálculo avançado e, por vezes, representa um verdadeiro terror aos estudantes. Tendo isso em vista, hoje nós da MeuGuru vamos buscar, em poucas palavras, te apresentar as ideias necessárias para você compreender esse assunto de uma vez por todas.
Então gurunauta, vem comigo que hoje vamos adentrar no mundo da transformada de Fourier.
Entenda o que é a transformada de Fourier
Primeiramente, é importante que você entenda que estamos adentrado num campo muito relevante da matemática. Em verdade, esse assunto é um tema quente de pesquisa e constitui um dos pilares modernos da Análise Matemática. A transformada de Fourier constitui mais uma as várias transformadas integrais que existem e permeiam a teoria de integração. Entretanto, essa destaca-se por ter diversas aplicações importantes associadas.
Bom, feita essa sutil apresentação vamos atacar nosso problema principal. Consideremos uma função f(t), então, a transformada de Fourier dessa função é dada por.
Além disso, essa transformada é uma transformação linear bijetiva, logo, há uma inversa que é dada por
Rigorosamente, podemos dizer que é necessário que a função f(t) seja de quadrado mensurável no sentido de Lebesgue. Entretanto, não queremos nos ater a rigor matemático. Em verdade, nos desejamos e queremos praticidade, vamos entender o que é a transformada de Fourier e como resolver problemas com ela.
O que de fato é essa transformação?
Em suma, a transformada de Fourier consiste numa transformação linear que associa funções f(t) a outra função, de modo que nessa nova variável temos uma função periódica. Ao passo que, ao empregarmos essa transformada associamos as funções a um espaço de frequências. Consequentemente, podemos entender e analisar, consideravelmente melhor, sinais, ondas e ruidos.
Um exemplo resolvido
Em geral, tendo em mãos a definição acima, determinar transformadas de Fourier torna-se essencialmente um processo de cálculo. Por exemplo, agora nós vamos calcular a transformada de Fourier da função.
Empregando a definição da transformada de Fourier, nós temos o seguinte desenvolvimento.
E assim, resolvemos um exemplo.
