O objetivo desse texto é apresentar ao leitor alguns exemplos de relações de ordem parcial. Esse tipo de relação é verificada através de três propriedades e pode nos dar uma série de outras para trabalhar com o conjunto em questão com essa ordem.
Revisão sobre relações.
Antes de ir aos exemplos vamos revisar o que é uma relação.
S é um relação de um conjunto A para B se S⊂AxB, isto é uma relação entre dois conjuntos é um subconjunto do produto cartesiano entre eles.
Assim, o conjunto vazio é relação entre quaisquer dois conjuntos e um produto cartesiano é uma relação entre dois conjuntos.
Um comentário importante para o tipo de relação que vamos definir é que dizemos que S é uma seleção em A se for uma relação de AxA.
Caso o leitor queria saber mais sobre relações ele pode conferir o seguinte texto aqui do blog:
Revisão sobre relações de ordem parcial.
Dizemos que S, uma relação em A, é de ordem parcial se ela é, simultaneamente:
1) (Reflexiva)
Para todo x que pertence A, então (x, x)∈S.
Mais coloquialmente, todo elemento de A se relaciona com ele mesmo por S.
2) (Antissimétrica)
Para todos x e y que pertencem a A, se (x, y)∈S e (y, x)∈S então x=y.
Isto é, em S, se x se relaciona com y e y se relaciona com x, então x e y são na verdade o mesmo elemento.
3) (Transitiva)
Para todos x, y e z que pertencem a A, se (x, y)∈S e (y, z)∈S então (x, z)∈S.
Portanto, podemos apenas dizer que uma relação é de ordem parcial se ela é reflexiva, antissimétrica e transitiva.
Caso o leitor queria saber mais sobre relações de ordem parcial ele pode conferir o seguinte texto aqui do blog:
Exemplos relações de ordem parcial
Vamos ver, agora, alguns exemplos para, assim, ficarmos mais confortáveis com essa definição.
A primeira relação que vamos tomar de exemplos é bastante básica. A relação de menor ou igual nos conjuntos numéricos dos naturais, inteiros, racionais ou reais, como era de se esperar, é de ordem parcial.
Isto é, seja a relação dos números reais, por exemplo, tal que a se x é menor ou igual y, x≤y, então x se relaciona com y.
Assim, é claro que x≤x, logo é reflexiva. Também, se x≤y e y≤x, então x=y, logo é antissimétrica. E, finalmente, se x≤y e y≤z então x≤z, logo é transitiva. Portanto, ≤ é uma relação de ordem parcial nos reais.
Para o segundo exemplo. Tome a relação | nos inteiros maiores que 0 tal que xSy se x divide y.
Daí, é claro que um número divide ele mesmo, logo | é reflexiva.
Também, se x divide y, e y divide x, então x=y, já que estamos nos inteiros positivos, logo é antissimétrica.
E, ainda, se x divide y e y divide z, sabemos que x divide z, logo | é transitiva. E, portanto | é uma relação de ordem parcial no inteiros positivos.
Agora é sua vez, escreva as propriedades que mostram que a seguintes relação é de ordem parcial:
A relação de inclusão de subconjuntos sobre o conjunto das partes de um conjunto S.
