As palavras aniverśario, paradoxos e probabilidades podem parecer distantes, todavia, elas são intrisicamente conectador por um problema muito interessante. De fato, pense no seguinte problema: você está numa sala com 100 pessoas, então, qual seria a probabilidade de que duas pessoas nessa mesma sala fizessem aniversário no mesmo dia que ?.
Decerto, você deve imaginar que a chance de que isso ocorra seja quase impossível. Entretanto, ao passo que introduzimos as noções de probabilidade e lançamos esse desafio a luz da racionalidade e da matemática vemos o oposto. Com efeito, essa probabilidade é de cerca de 99.99996927510721%.
Bom, após essa resposta provavelmente você deve estar surpreso. Em verdade, esse resultado que pode parecer um tanto esquisito é, na verdade, fruto de um problema chamado: paradoxo do aniverśario ou do aniversariante. Então, é sobre esse contexto que vamos guiar esse texto, o qual buscaremos elucidar esse incrível problema a luz de alguns poucos passos matemáticos.
Entendendo as noções de probabilidade
De início, é importante que você entenda que esse paradoxo encontra-se sob os domínios da teoria da probabilidade. Com efeito, essa teoria é um ramo da matemática aplicada que busca estudar, quantificar e analisar fenômenos aleatórios e incertos.
Em suma, a teoria da probabilidade é rica e muito robusta. Decerto, suas bases matemáticas são fundadas sobre os famosos axiomas de Kolmogorov os quais estendem-se sobre vários campos das ciências aplicadas como o estudo da dinâmica de movimento de corpos até mesmo no incrível mundo da mecânica quântica salvo devidas considerações e reformulações.
Todavia, para o problema que vamos estudar não precisamos de cálculos sofisticados e nem de noções avançadas dessa elegantíssima teoria. De fato, você gurunauta terá total capacidade de compreensão desse problema basta apenas lembrar das noções iniciais de probabilidade que são apresentadas ainda na escola.
Qual a chance de alguém fazer aniversário no mesmo dia que você ?
Então, feita as devidas considerações sobre a teoria das probabilidades, vamos agora pensar em como atacar nosso problema. Em suma, vamos colocar a mão na massa e resolver esse paradoxo.
Entendendo o espaço amostral
Dentro do escopo da teoria da probabilidade é necessário que consigamos entender o que é o chamado espaço amostral associado a um dado fenômeno que estamos estudandos. Com efeito, esse espaço amostral é, em suma, a amostra de elementos do fenômeno.
De fato, ter o conhecimento correto e preciso dessa estrutura será importantíssima para que nós consigamos resolver esse problema. Nesse sentido, veja que nosso espaço amostral será exatamente constituido por todas as pessoas que estão dentro da nossa sala imaginária. Assim, nosso espaço amostral possui 100 indivíduos, ou na linguagem da probabilidade: 100 elementos.
A forma correta de pensar !
Agora, vamos entender como podemos e devemos resolver esse problema. De fato, ao primeiro olhar esse problema parece absurdo todavia há uma maneira precisa de compreendê-lo. Assim, a forma correta de entender o paradoxo do aniversário é considerar a probabilidade de que duas pessoas em um grupo específico não compartilhem a mesma data de aniversário.
Suponha que haja um grupo de n pessoas. A primeira pessoa pode ter qualquer data de aniversário, sem restrições. A probabilidade de a segunda pessoa não ter a mesma data de aniversário que a primeira é de (364/365), já que há 365 dias no ano, excluindo o dia de aniversário da primeira pessoa. Da mesma forma, a probabilidade de a terceira pessoa não compartilhar a data de aniversário com as duas primeiras é de (363/365).
Com isso, vemos que o paradoxo surge quando percebemos que a probabilidade de pelo menos duas pessoas compartilharem a mesma data de aniversário é igual a 1 menos a probabilidade de ninguém compartilhar. Desse modo, pelo menos uma pessoa compartilha a mesma data de aniversário.
Resolvendo o paradoxo do aniversário com Python
Então, tendo em mãos a análise da seção anterior podemos então partir para a ideia de resolvermos esse problema. Todavia, você deve ter percebido que a computação dessas contas seria extremamente longa e até inviável de ser feita apenas com o bom e velho papel e caneta.
Elaboração do algorítimo
Nesse sentido, é interessante que possamos introduzir alguma ferramenta auxiliar para que seja factível fazer todo esse desenvolvimento. Em particular, optamos por escolher a linguagem de programação Python a qual além de possuir uma sintaxe fácil e simples é ainda capaz de prover os resultados necessários de forma ágil e precisa.
Nesse sentido, vamos começar o problema modelando uma função que chamaremos de niver. Em Python, isso é feito da seguinte forma: def niver(pessoas):
Em particular, a palavra pessoas que aparece no argumento da função que definimos é a quantidade de indivíduos que estamos considerando em nosso problema.
Agora, vamos introduzir a probabilidade p de cada pessoa da sala fazer aniversário num dado dia do ano. Com efeito, veja que isso equivale a multiplicarmos 1/365 pela quantidade de indivíduos que existem dentro da sala. Todavia, podemos compactar essa notação simplesmente com o uso das potências então essa probabilidade fica dada por p = (1.0/365)**pessoas.
Feito isso, vamos introduzir um Loop em Python com uso da função for. Decerto, esse Loop será responsável por calcular a medida da probabilidade p vezes todos os números do intervalo 366- pessoas até 366. Aqui, consideramos o ano bissexto, porém, você pode pensar e fazer o exercício considerando apenas 365 dias no ano.
Ao fim desse Loop, pedimos então para o programa printar o valor 1-p. Com efeito, esse valor nos dá exatamente a probabilidade procurada via o estudo de probabilidades complementares.
Desse modo, podemos sintetizar as análises feitas acima no seguinte código.
Por que paradoxo do aniversário ?
Em suma, o paradoxo do aniversário/aniversariante não é exatamente um paradoxo, decerto, esse problema surge mais como uma falha na nossa compreensão dos eventos estatísticos e probabilísticos. Nesse sentido, podemos ver que essa questão difere e muito de outros problemas famosos como o paradoxo de Bootstrap, paradoxo do gato de Schrödinger e até mesmo do paradoxo de Zenão.
Então Gurunauta, agora que você de fato compreende as noções que estão por trás do paradoxo do aniversário/aniversariante quMeu Guru: Conheça-nose tal você surpreender seus amigos e colegas ?. Decerto, você tendo em mãos nosso simples código em Python poderá facilmente computar essas probabilidades e então computar as estatísticas corretas sobre as chances de duas pessoas num dado espaço fazerem aniversário juntas.
Todavia, aqui devemos enfatizar uma sutileza no enunciado desse problema. De fato, o paradoxo ataca a determinação de que duas pessoas tenham nascido no mesmo dia, isso significa que em momento algum é fixado um indivíduo e sua data de aniversário. Assim, esse método não funciona para você ter a estatística de quantas pessoas farão aniversário no mesmo dia que você. Com efeito, a determinação de quem fará o aniversário ainda é algo intrinsicamente aleatório.
Referências
- Grinstead, C. M.; Snell, J. L. Introduction to Probability. American Mathematical Society, 2006.
- Tijms, H. Understanding Probability: Chance Rules in Everyday Life. Cambridge University Press.
- alk, M. The Birthday Paradox: Surprisingly Few Comparisons Are Needed to Generate a Match. Mathematics Magazine, v. 80, n. 3, p. 201-203, 2007.
- Radin, C. The Birthday Problem and How to Solve It. The College Mathematics Journal, v. 45, n. 2, p. 118-124, 2014.
- Wolfram MathWorld. Birthday Problem. Disponível em: http://mathworld.wolfram.com/BirthdayProblem.html. Acesso em: 22 jun. 2023.
- Cut-the-Knot. Birthday Problem. Disponível em: https://www.cut-the-knot.org/do_you_know/BirthdayProblem.shtml. Acesso em: 22 jun. 2023.
