Cálculo 1: Um tutorial de aplicações na cinemática

A disciplina de cálculo 1 é uma das mais temidas disciplinas que compõem o núcleo básico de cursos da área de exatas e afins. Decerto, essa disciplina carrega consigo um grande histórico de reprovações o qual independe da instituição, dos professores, dos livros textos e afins. Assim, essa cadeira acaba por ser uma disciplina que merece uma grande atenção dos estudantes a medida que forem cursá-la.

Ademais, um dos pontos principais que emergem das dificuldades vistas em cálculo 1 é a evolução do conteúdo ministrado que desagua sobre diversas aplicações com o mundo real que, a um primeiro contato, não são triviais de serem vistas e/ou entendidas pelo estudante. Nesse sentido, nós da MeuGuru elaboramos esse artigo para tentar te ajudar Gurunauta. De fato, nesse texto trazemos uma das principais aplicações do Cálculo 1: a cinemática.

Certamente, a cinemática é uma das partes mais simples que compõem o cálculo, entretanto, é inegável que a mesma merece a atenção e carinho necessário para um bom êxito. Assim, nesse tutorial simples e prático vamos te mostrar como o cálculo diferencial e integral nos leva naturalmente a pensar nas noções cinemáticas de posição e velocidade de corpos. Ademais, vamos ainda explorar em um exemplo simples e direto como as grandezas são relacionadas e associadas com o cálculo 1.

Os fundamentos do Cálculo 1 – derivadas e integrais

Dentro do cálculo 1 há dois conceitos fundamentais que perpassam todo o curso inicial e serão os protagonistas do seu estudo de cálculo ao longo da sua formação no seu ciclo comum em uma carreira das ciências exatas. Com efeito, esses dois conceitos fundamentais são as derivadas e as integrais que, por mais que sejam conceitos distintos a um primeiro olhar ficam bem relacionadas por meio do famoso Teorema Fundamental do Cálculo.

Decerto, nosso interesse aqui não é entrar nos aspectos particulares que circundam o cálculo 1 e nos atermos as demonstrações de limites, derivadas e integrais bem como suas regras e propriedades. Assim, nosso interesse é apenas te apresentar um pouco da interpretação geométrica que perpassa esses entes do cálculo.

A noção da interpretação geométrica da derivada

Então, com relação a derivada primeiro de tudo é importante que você entenda que esse objeto pode ser entendido como uma máquina capaz de entender e quantificar como e quanto uma determinada função varia a medida que seu argumento modifica-se na vizinhança de um dado ponto. Portanto, quando você calcula a f'(x) de uma função f(x) dada você está obtendo uma nova função que é a f'(x) (que chamamos de derivada) que computa a forma com que a função f(x) modifica seu valor.

Certamente, essa discussão pode não parecer tão produtiva mas, em essência ela é algo essencial quando estudamos matemática e cálculo. Com isso, segue então

A noção geométrica da integral

Por outro lado, outro objeto de interesse aqui é a chamada integral. Certamente, a integral de uma função pode te fornecer tanto uma função quanto um determinado valor e isso depende das condições da integral que são as seguintes.

• Integral indefinida. A integral indefinida te fornece uma família de funções F(x) tais que F'(x) = f(x).
• Integral definida. Aqui, a integral te definida é avaliada num dado intervalo de modo que o valor obtido em sua computação corresponde a área abaixo da curva f(x) dentro dos limites que delimitaram os extremos de integração.

De fato, as integrais possuem uma vasta gama de variações assim como as derivadas e podem ser associadas a diversas aplicações, a citar o cálculo de volume.

Entretanto, é importante ter em mente que o processo de integração corresponde, em suma, numa soma de termos (contribuições da função com elementos infinitésimos) que levam ao valor completo da área.

A relação entre derivadas e integrais

Conforme mencionamos anteriormente, as derivadas e integrais possuem sentidos geométricos e formas de serem entendidas completamente distintas. Entretanto, isso ocorre por que olhamos diretamente para o aspecto geométrico que as circunda. Nesse sentido, vale ainda termos em mente como podemos olhar para esses objetos com olhos algébricas.

Com efeito, a medida que nos adentramos apenas a álgebra das funções vemos que as noções de derivadas e integrais são próximas. De fato, abrindo mão do sentido geométrico podemos traçar uma conexão entre os objetos vendo que os mesmos configuram-se de forma similar a um par de operações complementares, ou seja.

• A operação de derivar é o contrário da operação de integrar.
• A operação de integrar é o contrário da operação de derivar.

Portanto, podemos sintetizar essa informação na Figura abaixo.

Decerto, esses rudimentos que traçamos aqui serão fundamentais para nós nas seções seguintes.

As noções cinemáticas de Cálculo1

Agora, uma vez que estabelecemos uma revisão rápida sobre as noções teóricas de cálculo vamos focar diretamente nos aspectos que tangem a cinemática. Em suma, a cinemática física é a área da Física que se preocupa com a descrição de movimentos de corpos sem preocupar-se com as causas do movimento (As causas do movimento são vistas no estudo da Dinâmica). Tendo isso em vista, vamos investigar os principais elementos da da cinemática dentro do cálculo

Noções cinemáticas no Cálculo 1

Primeiro, como já dito, o cálculo 1 está interessado em entender e compreender funções. Assim, é eventual necessário que destaquemos as funções da cinemática física, essas são:

• Função posição x(t). Essa função carrega a informação de onde um dado corpo está num tempo t.
• Função velocidade v(t). Essa função carrega a informação do quão rápido a posição de um corpo varia num instante de tempo t
• Função aceleração a(t). Essa função carrega a informação como e quanto a velocidade de um dado corpo varia num dado instante de tempo.

Certamente, você já deve ser capaz de ver e entender como essas três funções se associam com cálculo 1. De fato, não escolhemos a palavra variar na definição de velocidade e aceleração sem motivo. Em verdade, elas foram aqui postas com intuito de estabelecer íntima conexão com o que discutimos anteriormente sobre o sentido e interpretação dessas operações

Um exemplo prático com Cálculo 1 (derivadas) e cinemática

Agora, vamos resolver um problema simples de cálculo 1. Com efeito, consideremos uma móvel que se move de acordo com a função f(t) = t³+2t²+4t+cos(t). Certamente, essa função não é trivial e sequer se assemelha com as funções de movimento que somos apresentado nos estudos iniciais de física já no ensino médio. Assim, a determinação das funções de velocidade e aceleração a partir da função f(x) não é trivial e não há fórmulas prontas para recorrermos, portanto torna-se necessário recorrermos ao arcabouço teórico que o cálculo 1 nos fornece.

Assim, vamos determinar as funções de movimento. Para isso, basta prosseguirmos com os métodos de derivação. Com efeito, nós temos que.

e perceba que o gráfico das funções de movimento é o seguinte:

Um exemplo prático com Cálculo 1 (Integrais) e cinemática

Agora, vamos investigar um segundo exemplo prático. Entretanto, nesse exemplo vamos abordar a noção de como a integral pode ser utilizada para determinar a função de posição partindo da função de velocidade do corpo. Com efeito, consideremos que um corpo se move com velocidade f(t) = t²+2cos(t) e sabemos que o móvel t está na posição x = 2 no instante t = 0. Tendo isso em mãos, vamos determinar a função x(t) que determina a posição completa do móvel. Com efeito, essa é

Aqui, a constante C é uma constante de integração que aparece por conta da integral especificar uma família de soluções possíveis para o problema de uma dada função. Então, a resolução do problema, é necessária a determinação dessa constante. Decerto, é possível determiná-la facilmente com uso do dado de que a posição do móvel em t=0 é x =2. Com efeito, isso é uma condição inicial e esse fato aparece num contexto bem mais geral de uma disciplina um pouco mais avançada (Equações Diferenciais Ordinárias). Então, um dos caminhos será:

Logo, conseguimos explicar a função de posição por.

Referências

1. Khan Academy. Cálculo. Disponível em: <https://pt.khanacademy.org/math/calculus-1 ↗>. Acesso em: 15 ago. 2023.
2. Para o MIT OpenCourseWare – Cálculo 1:
3. MIT OpenCourseWare. Cálculo 1. Disponível em: <https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/ ↗>. Acesso em: 15 ago. 2023.
4. Para o The Physics Classroom – Motion and Velocity:
5. The Physics Classroom. Motion and Velocity. In: The Physics Classroom. Disponível em: <https://www.physicsclassroom.com/class/1DKin ↗>. Acesso em: 15 ago. 2023.
6. STEWART, J. Cálculo, volume 1. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
7. LARSON, R.; EDWARDS, B. Cálculo, volume 1. São Paulo: Pearson Education, 2013.
8. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo, volume 1. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2012.
9. ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo: um novo horizonte, volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2013.
10. APOSTOL, T. M. Cálculo, volume 1. São Paulo: LTC Editora, 2017.
11. SWOKOWSKI, E. W.; COLE, J. A. Cálculo com geometria analítica, volume 1. São Paulo: Thomson Learning, 2010.