Combinatória é sem sombra de dúvidas uma dos tópicos mais complicados de matemática no âmbito da educação básica. De fato, a combinatória e a probabilidade constituem um ramo da matemática discreta que, por vezes, torna-se essencialmente difícil de ser entendida ao passo que seus desenvolvimentos possuem diversas abstrações. Todavia, os problemas dessa área passam por uma infinidade de possibilidades e requerem por vezes que os estudantes tenham um domínio elevado dessa área.
Nesse sentido, hoje nós da MeuGuru trouxemos esse tutorial especial para vocês gurunautas. Com efeito, nesse texto vamos tratar de alguns aspectos básicos da combinatória e ainda vamos resolver um problema junto com você. Decerto, nosso objetivo aqui é introduzir a você algumas ideias que fundamentam a área e assim te permitindo compreender o que realmente está sendo feito nas contas e nos desenvolvimentos dos problemas. Então, vem comigo que hoje vamos adentrar no mundo da combinatória.
Entendo os elementos da Combinatória
De início, vamos entender os elementos que permeiam a combinatória. Decerto, esse ramo da matemática se concentra sobre o arcabouço da chamada matemática discreta. Em suma, essa área se vale de diversas ferramentas da teoria dos conjuntos para que então possa de forma efetiva realizar as descrições desejadas e entender as perguntas da área. Nesse sentido, é interessante entendermos a seguinte questão: “O que a combinatória quer responder ? “.
De fato, o problema fundamental da combinatória é determinar a quantidade de possibilidades de algum evento (fenômeno desejado) mediante ao conhecimento de conjuntos que satisfaçam parcialmente ou totalmente as condições postas pelo problema.
Assim, podemos esquematizar essa situação a seguir através de uma ilustração que associa conjuntos X, A e B ao total de possibilidades de algo ocorrer.
Nesse sentindo, poderíamos exemplificar a situação acima pensando que os conjuntos poderiam ser conjuntos de calças, camisas e chapéus. Portanto, desejaria-se determinar a quantidade de possibilidades se montar um conjunto com uma peça de cada conjunto (Esse é um problema clássico da área de combinatória).
Ademais, esses problemas de determinarmos a quantidade de possibilidades hoje são bem definidos e podem ser bem fundamentados se conhecermos o princípio fundamental da contagem. Com efeito, vamos agora a esses elementos.
Elementos de contagem e o Princípio Fundamental da Contagem PFC
De fato, é imprescindível que você conheça os elementos da contagem. Decerto, esses elementos são expressões que permitem a computação da quantidade de possibilidades para um dado evento ocorrer. Em suma, há três elementos básicos que devemos conhecer esses são: a permutação denotado por P(n), o Arranjo denotado por An,p e a combinação denotada por Cn,p.
Com efeito, a seguir explicitamos as regras básicas para utilizarmos cada um desses elementos.
De fato, esses elementos permitem que resolvamos situações problemas de forma simples e prática. Entretanto, apenas conhecer esses elementos não é suficiente para que você compreenda totalmente os problemas de combinatória.
Ademais, é necessário ainda ter em mente o famoso Princípio Fundamental da Contagem. Com efeito, esse princípio matemático também usualmente chamado de PFC simplesmente nos diz como que diferentes eventos sequencialmente feitos se associam. Então, dada a significância desse fundamento vamos buscar entender como ele funciona.
- Princípio Fundamental da Contagem – PFC. A quantidade de dois eventos ocorrerem é o produto entre a quantidade de cada um ocorrer. Assim, se há X eventos de um tipo e Y de outros para o caso onde os dois obrigatoriamente ocorrem haverá XY. Por outro lado, a ocorrência de determinarmos a quantidade de eventos se X ou Y satisfazer a nossa restrição é dada pela soma X+Y.
Certamente, o princípio fundamental da contagem é bem significativo e relevante em vários problemas. Nesse sentido, vamos agora a alguns problemas práticos para entendermos como a teoria é posta em problemas clássicos de vestibulares.
Resolvendo um problema simples de Arranjo
Agora, vamos resolver um problema simples de Arranjo. Com efeito, vamos exibir o enunciado a seguir.
(Enunciado – adptado) Em uma competição de natação havia 8 atletas. Determine a quantidade de possibilidades desses atletas ocuparem o pódio, isto é, os três primeiros lugares.
Com efeito, esse problema é típico de arranjo. De fato, o que vamos fazer é arranjar os 8 atletas em três posições desse modo o cálculo é simples veja a seguir.
Assim, temos o desejado. A propósito, note que se a questão tivesse a perguntar a quantidade de disposições dos 8 atletas teríamos um problema de permutação e logo o que teríamos de cálculo seria a permutação de 8. Observe como é interessante, a fórmula do arranjo então avalia a permutação de 8 (8 fatorial associado ao total de possibilidades) restringindo a quantidade por n-p.
Assim, o denominador no arranjo funciona como um limitador para o arranjo e de igual modo funcionará para a combinação. Decerto, o p! que aparece ainda na fórmula da combinação age como um desprezo da ordem.
Resolvendo um problema de combinatória com Permutação
(Enunciado adptado) Quantas palavras de 4 letras podemos formar com as letras da palavra AMOR ?
O problema é simples, a mesma quantidade de letras e espaços para alocação e logo temos que calcular então a permutação de 4 que é P(4) = 4! = 24.
Resolvendo um problema de combinatória com Combinação
Então, tendo agora vamos a um problema de combinação. Com efeito, segue o enunciado abaixo.
(Enunciado – adptado) Um time de futebol é composto de11 jogadores, sendo 1 goleiro, 4 zagueiros 4 campista e 2 marcantes. Ademais, considerando-se que o técnico dispõe de 3 goleiros, 8 zagueiros, 10 meio campistas e 6 atacantes. Então, de posse disso, determine o número de maneiras possíveis que esse time pode ser formado?
A solução desse problema simplesmente é determinado pelo uso do PFC juntamente com a combinação. De fato, nós temos aqui três combinações a serem feitas uma para cada posição no time de futebol associada a quantidade de jogadores disponíveis para esse cargo. Assim, teremos a seguinte disposição.
- Para zagueiro temos a combinação de 4 posições no time para 8 jogadores.
- Para atacante temos a combinação de 4 posições no time para 6 jogadores.
- Para meio-campistas temos a combinação de 4 posições no time para 10 jogadores.
- Para goleiro temos a combinação de 1 posições no time para 3 jogadores.
Então, o total de possibilidades é simplesmente o produto de cada combinação tomada acima. De fato, isso nos leva ao seguinte desenvolvimento e resultado que fazemos a seguir.
Referências
- IEZZI, G.; MURAKAMI, C.; DEGENSZAJN, D.; PÉRIGO, R. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos e Funções. Editora Atual, 2013.
- GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática Fundamental: Uma Nova Abordagem. Editora FTD, 2016.
- DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. Editora Ática, 2019.
- IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. L. Fundamentos de Matemática Elementar: Geometria Plana. Editora Atual, 2015.
- GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática Completa: Volume Único. Editora FTD, 2017.
- DANTE, L. R. Matemática: Volume Único. Editora Ática, 2016.
- IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. L. Fundamentos de Matemática Elementar: Geometria Espacial. Editora Atual, 2017.
- GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único. Editora FTD, 2018.
- DANTE, L. R. Matemática e Realidade: Volume Único. Editora Ática, 2014.
- IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. L. Fundamentos de Matemática Elementar: Matemática Financeira. Editora Atual, 2019.
- Khan Academy. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/. Acesso em: 22 nov. 2023.
- Só Matemática. Disponível em: https://www.somatematica.com.br/. Acesso em: 22 nov. 2023.
- Mundo Educação. Disponível em: https://www.mundoeducacao.uol.com.br/. Acesso em: 23 nov. 2023.
- Educarede. Disponível em: http://www.educarede.org.br/. Acesso em: 23 nov. 2023.
- Matemática Didática. Disponível em: http://www.matematicadidatica.com.br/. Acesso em: 25 nov. 2023.
