Conjuntos numéricos: Um tutorial simplificado

Os conjuntos numéricos são os primeiros assuntos que somos apresentados no estudo da matemática. Em verdade, estudar matemática inicia por entendermos bem essas estruturas chamadas de conjuntos. De fato, os conjuntos permeiam toda a construção da matemática, ou quase todas como discutiremos na última seção desse artigo. Assim, esse assunto se faz mais que necessário para que você gurunauta, seja estudante do ensino médio ou mesmo do ensino superior, possa compreender vários outros tópicos mais avançados como os que somos apresentados em matérias avançadas, a citar: álgebra linear, cálculo, equações diferenciais, Análise, Teoria dos Números e afins.

Nesse sentido, nós da MeuGuru decidimos trazer para você esse tutorial simplificado. Com efeito, nesse texto vamos explorar um pouco sobre os conjuntos com foco nos conjuntos numéricos. Todavia, vamos dedicar uma seção desse artigo inteira para destrincharmos um pouco da alma da Teoria dos Conjuntos visto que isso é essencialmente fundamental nesse assunto. Então, pode ir se preparando que agora vamos começar o assunto mais básico (no sentido de base/fundamento pois não é necessariamente fácil e.e) da matemática atual.

O que são os conjuntos na matemática ?

De fato, os conjuntos na matemática são simplesmente a estrutura de base a parte fundamental que baseia toda a matemática moderna. Com efeito, desde a questões simples como o conjunto de camisas laranjas que uma pessoa tem até as noções mais abstratas de variedades diferenciáveis, espaços de Hausdorf, Geometrias não euclidianas dentre outras tudo é fundamentado na noção de conjuntos.

Então, vamos definir matematicamente o que são conjuntos. Em suma, definimos um conjunto como sendo a coleção de objetos distintos, os quais nomeamos esses entes por elementos, que são como uma única entidade. Assim, a noção de conjunto se torna essencialmente arbitrária podendo perpassar e se adequar a basicamente qualquer coisa imaginável. Em verdade, é sempre conveniente agruparmos elementos similares por alguma condição, que chamamos de sentença aberta. Dessa forma, dado um conjunto A podemos escrever genericamente sua representação por:

• A = { x tais que a condição p é satisfeita por x, isto é x cumpre p. } onde p é uma sentença aberta.

Exemplos e subconjuntos

Com efeito, podemos exemplificar isso da seguinte forma exemplificada: pense no conjunto de estados do Brasil, denotamos esse conjunto por Pb. Então, agora veja que esse conjunto contém o todos os estados brasileiros, a partir disso, veja que a sentença aberta p é a condição que restringe os estados aqueles pertencentes apenas ao Brasil. Logo, ela especifica os elementos x que chamamos de estados impedindo que os mesmos sejam de outro país.

Ademais, veja que podemos, partindo do exemplo anterior, imaginar o conjunto Pba dos estados do Brasil que comecem com a letra a. Então, nesse conjunto temos que Pba = {Amapá, Acre, Alagoas, Amazonas}. Com efeito, esse conjunto é um conjunto que foi estrado do conjunto Pb modificando a sentença aberta p que tínhamos anteriormente. Ademais, esse exemplo é interessante, em verdade, ele nos permite introduzir a noção de subconjunto.

Em suma, um subconjunto é simplesmente um conjunto que está contido em outro conjunto, a citar Pba está contido em Pb. Além disso, aqui já começa um pouco da grande abstração que permeia essa teoria, uma vez que, todo conjunto é subconjunto de algum conjunto e logo não existe um conjunto que contenha todos os conjuntos. Isso pode parecer difícil de entender, porém isso segue da noção dos conjuntos das partes.

O Conjunto das partes !

Em verdade, o conjunto das partes P de um conjunto A é o conjunto que contém todos os subconjuntos de A. De fato, tenho que confessar que isso é abstrato então vamos fazer um exemplo simples para entendermos. Com efeito, tomemos o conjunto A como A = {1,2,3,4}. Então, o conjunto das partes de A contém todos os subconjuntos de A, porém, quem são esses ?. Em verdade, esses são:

• {1}, {2}, {3}, {4} ;
• {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4} ;
• {1,2,3}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,3,4} ;
• {1,2,3,4} ;
• {vazio}.

Logo o conjunto das partes de A é

• P = { {vazio}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,3,4}, {1,2,3,4} }.

De fato, você deve ter visto que colocamos o conjunto {vazio}. Com efeito, esse é o conjunto que não tem qualquer elemento e basicamente ele cumpre a sentença aberta de negação. Em verdade, esse conjunto desempenha um papel importante na teoria dos conjuntos que não iremos discutir aqui frente que seria necessário boas páginas de um artigo para tal tarefa com o devido carinho que esse conjunto merece.

Enfim, tendo em vista esses elementos da teoria dos conjuntos podemos então passar para os conjuntos numéricos. Em verdade, nas seções seguintes destacaremos algumas propriedades extras da Teoria dos Conjuntos que aparecerão naturalmente em nossa discussão.

Quais são os conjuntos numéricos ?

Com efeito, os conjuntos numéricos são simplesmente os conjuntos que seus elementos são os números. Decerto, esses conjuntos foram bastante estudados no início da matemática, nomes como Gauss configuram papel importante no estudo dessa teoria. Decerto, até hoje a parte da matemática chamada por Teoria dos Números detêm grande prestígio, sendo inclusive detentora de um dos problemas do milênio: A hipótese de Riemann.

Todavia, esse é um problema pra gente grande, bem grande inclusive. Em suma, nosso objetivo aqui é destacar os principais conjuntos numéricos te exemplificando suas principais características. Decerto, há alguns conjuntos numéricos importantes inicialmente que são os seguintes

• O conjunto dos Naturais. Esse conjunto é denotado pela letra N estilizada e contém os números que chamamos de naturais visto que foram os primeiros a serem estudados pela humanidade. Decerto, eles surgiram da necessidade imediata de contar do ser humano, esses números são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, … .
• O conjunto dos Inteiros. Simbolizamos esse conjunto pela letra Z estilizada. Com efeito, esse conjunto contém os números tipo os naturais, números negativos e o número zero. Logo, seus elementos são: …, -3, -2,-1,0, 1, 2, 3, … .
• O conjunto dos Racionais. Simbolizamos esse conjunto pela letra Q estilizada. De fato, os elementos do conjunto dos racionais são obtidos pela divisão de números p e q onde p e q são números inteiros.
• O conjuntos dos Irracionais. Esse conjunto é compreendido pelos números que não são racionais, ou seja não podem ser escritos sob a forma p/q com p e q inteiros. Esse conjunto é muito importante para a história da matemática.
• O conjunto dos Reais. É o conjunto formado pela união do conjunto dos irracionais com o conjunto dos racionais.

Representação gráfica e Cardinalidade

Com efeito, ao passo que descrevemos esses conjuntos podemos simplesmente fazer uma representação dos mesmos com recursos diagramáticos. De fato, como os inteiros são os naturais, o zero e os naturais negativos podemos pensar em fazer uma bola dos inteiros com uma bola interna correspondendo aos naturais e uma bola contendo elas duas dos racionais visto que os números inteiros são números da forma p/1 e logo todo inteiro é racional. Por fim, adicionamos uma bola externa que corresponde aos irracionais e dessa forma teríamos a seguinte representação que encontramos nos livros de ensino médio e fundamental. (VEJA A DISCUSSÃO APÓS A IMAGEM)

Todavia, essa representação é errada. De fato, isso aparece por uma confusão que há entre o tamanho dos conjuntos. Em suma, no parágrafo acima levamos você leitor ao erro de pensar que há uma relação de tamanho entre esses conjuntos de forma que #N < #Z < #Q < #I < #R, onde #A denota: quantidade de elementos do conjunto A. Em verdade, não há tal relação, por outro lado há uma relação de inclusão, isto é: #N ⊂ #Z ⊂ #Q ⊂ #I ⊂ #R.

Cardinalidade dos conjuntos numéricos !

Em verdade, o conjunto dos naturais é um conjunto infinito e para isso introduzimos a noção de cardinalidade que é basicamente a quantidade de elementos de um conjunto. Entretanto, para conjuntos infinitos, com infinitos elementos, a coisa não é tão simples. De fato, para então determinarmos a quantidade de elementos de um conjunto devemos ser capazes de contar esses elementos. Em suma, isso pode ser feito se construirmos uma função bijetiva que sai do conjuntos dos naturais para esse conjunto para termos algo assim

• F: N -> X tal que:
  • f(1) = elemento 1 de x,
  • f(2) = elemento 2 de x,
  • f(3) = elemento 3 de x;
  • …
  • f(n) = elemento n de x;
  • …

Com efeito, quando conseguimos construir essa função conseguimos garantir que N e X tem mesma cardinalidade. Certamente, isso implica que N e X tem os mesmos elementos ou seja, mesmo tamanho e dizemos que todos os X que satisfazem essa condição são enumeráveis. Agora vem o grande e incrível resultado veja a seguir:

• A função f: N -> Z definida por:
  • n natural -> f(n)= -n/2 se n for ímpar e
  • f(n) = (2n-1)/2 se n for ímpar
  • é uma bijeção de N e Z e logo os naturais e os inteiros tem mesma cardinalidade.
• A função f: (ZxZ*) – > Q definida por:
  • (p,q) – > f(p,q) = p/q
  • é uma função sobrejetiva de um conjunto enumerável visto que ZxZ* é enumerável pois é o produto cartesiano de dois conjuntos enumerável e logo Q é enumerável. Portanto, Q é enumerável e tem mesmo tamanho de Z e N.

Logo esses três conjuntos deveriam ter igual tamanho diagramático para a correta representação.

O problema do tamanho do conjunto dos reais e irracionais

Bom, diferentemente dos três conjuntos é possível mostrar que I e R não tem mesmo tamanho que N. De fato, isso é incrível e assustador uma vez que isso implica que o infinito dos números reais e irracionais é maior que o infinito dos números naturais. Portanto, isso nos diz que há infinitos diferentes e infinitos maiores que outros infinitos e isso é bem absurdo, realmente de explodir a cabeça.

Em verdade, isso pode ser mostrado com o chamado argumento da diagonal de Cantor o qual fora proposto por George Cantor e foi um marco histórico para a matemática. Dessa forma, uma representação um pouco mais fiel seria a seguinte.

Certamente, você pode se questionar sobre essa questão de diferentes infinitos. Em verdade, isso levou a matemática a elaborar a chamada hipótese do Continum e até mesmo a definir cardinalidades para os conjuntos infinitos. Em suma, dizemos que a cardinalidade dos naturais é aleph 0 e para os reais e irracionais aleph 1.

Novos conjuntos numéricos

Ademais, os conjuntos que apresentamos anteriormente são apenas alguns dos vários conjuntos que existem. Decerto, não queremos aqui adentrar em muito mais do que isso visto que conjuntos como quartenios e octônios são muito avançados e requerem recursos matemáticos que estão bem além do nosso interesse para esse artigo. Todavia, há ainda um importante conjunto numérico para introduzirmos que é o conjunto dos complexos e desse modo temos a seguinte representação.

Com efeito, um número complexo z é um número da forma: z = a+bi onde a e b são números reais e i é a chamada unidade imaginária que é a raiz quadrada de menos 1. Certamente, esses números complexos são bem relevantes para muitas áreas e você que está na faculdade com toda certeza verá muitos deles sejam nas disciplinas de cálculo ou nas disciplinas de Física.

A matemática além dos conjuntos !

De fato, nesse artigo fica evidente como todos os números estão fundamentados em termos de conjuntos. Entretanto, há ainda uma recente e elegante formulação da matemática como um todo que abandona a noção de conjuntos e introduz uma noção mais abstrata e robusta chamada de categoria. Com efeito, essa é a teoria das categorias que traz a noção uma nova forma de pensar o mundo como um todo ao passo que elementos similares estão dentro de uma categoria e as funções aqui são substituídas pelos morfismos.

Referências

1. Iezzi, Gelson et al. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos e Funções. São Paulo: Editora Atual, 2013. ISBN 978-85-08-09372-9.
2. Dante, Luiz Roberto. Matemática: Contexto & Aplicações. Volume 1. São Paulo: Editora Ática, 2013. ISBN 978-85-08-09372-9.
3. Palhares, Ricardo A. Matemática para o Ensino Médio: Conjuntos Numéricos e Funções. São Paulo: Editora Moderna, 2017. ISBN 9788516106966.
4. Morgado, Augusto C.; Almeida, Luiz M. Conjuntos Numéricos e Funções. 2ª edição. São Paulo: Editora Saraiva, 2019. ISBN 978-85-02-25690-8.
5. Paiva, Manoel; Paiva, Rodolfo. Matemática: Ensino Médio. Volume Único. São Paulo: Editora Moderna, 2014. ISBN 9788516106966.
6. SÓ MATEMÁTICA. Conjuntos Numéricos. Disponível em: https://www.somatematica.com.br/fundam/irracional.php. Acesso em: 13 dez. 2023.
7. MUNDO EDUCAÇÃO. Conjuntos Numéricos. Disponível em: https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm. Acesso em: 13 dez. 2023.
8. MATEMÁTICA DIDÁTICA. Conjuntos Numéricos. Disponível em: http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericos.aspx. Acesso em: 13 dez. 2023.
9. KHAN ACADEMY. Conjuntos Numéricos. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/algebra/rational-and-irrational-numbers. Acesso em: 13 dez. 2023.