Derivadas parciais: Um tutorial rápido

Derivadas parciais são uma generalização das derivadas que aprendemos em cálculo de uma variável. Com efeito, as derivadas parciais são objetos matemáticos que usualmente somos apresentados nos cursos de cálculo 2 ou 3 a depender da faculdade. Todavia, essa generalização que fazemos ao passo que consideramos mais do que apenas 1 variável nos leva a demasiadas complicações que, por sua vez, nos levam a cálculos bem maiores e algumas vezes até mais dificultosos.

Nesse sentido, nós da MeuGuru decidimos trazer esse artigo especialmente para você gurunauta. Decerto, aqui vamos explorar, em linhas gerais, as noções que permeiam derivadas parciais e principalmente quanto a definição do operador nabla. De fato, o operador nabla desempenha papel importantíssimo nas aplicações físicas que permeiam o cálculo de várias variáveis. Então, dito isso, vamos agora para nosso tutorial onde exploraremos todas essas questões com você querido gurunauta.

Relembrando um pouco das derivadas

Antes de tudo, vamos relembrar um pouco sobre derivadas. Com efeito, as derivadas são um objeto matemático específico que fora desenvolvido por Isaac Newton e Gottfried Leibniz de forma independente. Em suma, as derivadas nos fornecem uma maneira de entender como uma função está variando em uma dada região onde ela é bem definida. Assim, é certo dizer que as derivadas são uma taxa de variação.

Entretanto, quando olhamos apenas para uma variável tudo que vimos no Cálculo 1 é suficiente. Todavia, a medida que incorporamos mais variáveis o problema se complica de modo que apenas aquele tratamento não é suficiente. Assim, é necessário que recorramos a outras formas de cálculo, em particular, várias variáveis nos farão ter que entender a variação em cada direção (correspondente a cada variável) da função.

Nesse sentido, emerge a noção de derivada parcial. Com efeito, ela é em suma análoga a derivada normal e logo todas aquelas várias regras que você aprendeu continuam valendo. Porém, a grande diferença aqui é o fato de que quando você for derivar uma função f você terá uma função do tipo f = f(x,y,z) onde ela depende das variáveis x,y e z. Logo, teremos três derivadas, uma para cada variável, porém o problema não fica tão complicado na verdade pois quando calculamos a derivada parcial em x, por exemplo, então nós tratamos as outras variáveis como constantes e o problema fica análogo a termos uma derivada ordinária como no cálculo 1.

Ademais, as notações que usamos para derivadas parciais são as seguintes, todas são equivalentes.

onde consideramos nossa f como sendo uma função de forma geral f=f(x,y,z).

Funções podem ser vetores!

A importância do cálculo de várias variáveis é chegada ao máximo quando temos as noções de vetores. Decerto, é interessante ter funções vetoriais no cálculo de várias variáveis porque elas nos permitem descrever e analisar fenômenos que envolvem grandezas vetoriais. Enquanto as funções escalares atribuem um único valor numérico a cada ponto em um domínio, as funções vetoriais atribuem um vetor a cada ponto. Aqui estão algumas razões pelas quais as funções vetoriais são importantes:

1. Descrição de Movimento: Funções vetoriais são especialmente úteis para descrever o movimento de partículas em duas ou três dimensões. Elas podem fornecer informações sobre a posição, velocidade e aceleração de um objeto em diferentes instantes de tempo.
2. Representação de Forças e Campos: Muitas vezes, as grandezas físicas, como forças e campos, são descritas por vetores. As funções vetoriais permitem representar essas grandezas e analisar seu comportamento em diferentes pontos do espaço.
3. Visualização Geométrica. Podemos visualizar geometricamente Funções vetoriais por meio de gráficos vetoriais. Isso permite uma compreensão intuitiva de conceitos como curvas parametrizadas, trajetórias e superfícies no espaço.
4. Análise de Fluxo e Rotacional: O uso de funções vetoriais é fundamental para a análise de fluxo de fluidos e campos magnéticos. O cálculo do divergente e do rotacional de um campo vetorial fornece informações importantes sobre como o fluxo se espalha ou converge e a presença de rotação.
5. Modelagem de Fenômenos Complexos. Nos podemos modelar muitos fenômenos físicos, como o movimento de partículas carregadas em campos elétricos e magnéticos, naturalmente por funções vetoriais. O uso de funções vetoriais no cálculo permite modelar e analisar esses fenômenos de maneira mais precisa.

Gradiente, Divergente e Rotacional com derivadas parciais

Um dos pontos altos do cálculo das derivadas parciais é o estudo de três operadores diferenciais que são associados as derivadas parciais. Com efeito, esses operadores são importantes e podem atuar tanto em funções escalares quanto em funções vetoriais como discutimos anteriormente.

Esquematicamente uma representação de como esses operadores que são o divergente (div), gradiente (grad) e rotacional (rot) atuam e produzem resultados é esquematizado a seguir.

Agora, vamos detalhar cada um dos operadores e daremos alguns pitacos de suas aplicações.

Entendendo os operadores diferenciais com derivadas parciais gradiente, divergente e rotacional

Gradiente:

• O gradiente é um operador vetorial que descreve a taxa de variação de uma grandeza escalar em relação às coordenadas espaciais.
• Podemos aplicar esse operador a um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função escalar e possui magnitude proporcional à taxa de variação.
• Podemos usar o gradiente em cálculos de derivadas parciais e é útil para entender a direção e magnitude das mudanças em uma função.

Divergente:

• O divergente é um operador vetorial que mede a tendência de um campo vetorial se afastar ou convergir a partir de um determinado ponto.
• Podemos aplicar esse operador a campos vetoriais tridimensionais e chegamos a um resultado que é um escalar.
• O divergente indica se o fluxo de um campo vetorial está se espalhando (divergente) ou convergindo (convergente) a partir de um ponto.
• Podemos usar o rotacional em várias áreas da física, como eletromagnetismo e mecânica dos fluidos.

A seguir mostramos o operador divergente. Com efeito, ele é o mesmo para o gradiente todavia o ponto que aparece a seguir denota o produto escalar. Enquanto que quando estamos tratando apenas do gradiente não teremos esse produto. Em verdade, na seção seguinte discutiremos mais detalhadamente isso com dois exemplos.

Rotacional:

• O rotacional é um operador vetorial que mede a tendência de rotação de um campo vetorial em torno de um ponto.
• É aplicado a campos vetoriais tridimensionais e é representado por um vetor.
• O rotacional indica a presença de “vorticidade” em um campo vetorial, ou seja, se há rotação em torno de um eixo.
• É usado em áreas como eletromagnetismo e mecânica dos fluidos para descrever o movimento de fluidos em rotação.

Com efeito, o rotacional de um campo vetorial F = (P,Q,R) pode ser ser obtido através de um determinante que é o seguinte.

Exemplos de derivadas parciais

Com efeito, agora vamos a alguns exemplos. Decerto, é interessante sempre colocarmos a mão na massa para melhor aprendermos. Nesse sentido, daremos agora a resolução do cálculo do gradiente e divergente de duas funções. Então, seja f(x,y,z) = x+y^2+e^z e o campo vetorial F =(x^2y, sen(2x),xy^2+ln(z)), logo o gradiente de f e o divergente de F são:

Agora gurunauta tente você ver se aprendeu o assunto sobre derivadas parciais. Com efeito, busque calcular o rotacional de f e F (verifique qual você poderá calcular lembrando da definição que demos e da esquematização fizemos no início da seção anterior).

Referências

1. Stewart, J. (2011). Cálculo – Volume 2 (7ª ed.). São Paulo: Cengage Learning.
2. Arfken, G., Weber, H., & Harris, F. (2012). Mathematical Methods for Physicists (7ª ed.). Boston, MA: Academic Press.
3. Adams, R. (2013). Sobolev Spaces (2ª ed.). San Diego, CA: Academic Press.
4. Spiegel, M., Lipschutz, S., & Spellman, D. (2019). Advanced Calculus (4ª ed.). New York, NY: McGraw-Hill Education.
5. Apostol, T. (1974). Mathematical Analysis (2ª ed.). Reading, MA: Addison-Wesley.
6. Khan Academy – Partial Derivatives. Disponível em: https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives
7. MathIsFun – Partial Derivative. Disponível em: https://www.mathsisfun.com/calculus/partial-differentiation.html
8. Wolfram Alpha – Partial Derivative Calculator. Disponível em: https://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=7b3b7f368b52f5e3bed3e2f078f9b3a1