A Equação de Poisson consiste numa importante equação diferencial parcial da Física-Matemática. De fato, nós conhecemos inúmeras aplicações dessa equação na modelagem de diversos fenômenos físicos. Por outro lado, nós vemos ainda que essa equação aparece como um forte exemplo de EDP não homogênea.
Assim, percebemos que Equação de Poisson é incrivelmente relevante seja no contexto de aplicações quanto da própria matemática. Tendo isso em vista, nós dá MeuGuru preparamos esse artigo com intuito de te explicar um pouco sobre o que é a EDP de Poisson. Então, cola com a gente nesse texto que hoje vamos conhecer um pouco sobre essa equação.
Entendendo o que é a Equação de Poisson
De início vamos consider uma função u=u(x,y,z) que é duas vezes diferenciável, ademais, consideremos também uma função f=f(x,y,z) de três variáveis. Então, a equação de Poisson é definida da seguinte forma.
Logo, nós vemos que essa equação é um tipo de generalização da Equação de Laplace. Em particular, quando consisderamos o caso em que f é identicamente nula, obtemos exatamente a EDP de Laplace. Nesse sentido, isso já nos dá pistas de como resolver a EDP de Poisson. Em verdade, sua solução pode ser dada pela soma da solução homogênea (veja o artigo. Ademais, quando temos a solução homogênea, podemos obter a solução final somando essa com uma solução associada a parte não homogênea.
Algumas aplicações dessa equação
A Equação de Poisson é uma equação diferencial parcial que é amplamente utilizada em diversas áreas da física e da matemática aplicada. Alguns exemplos de suas aplicações incluem:
- Eletrostática. A qual usamos para determinar para determinar o potencial elétrico em uma região do espaço com uma determinada distribuição de carga.
- Gravitação. A qual usamos para determinar o potencial gravitacional em uma região do espaço com uma determinada distribuição de massa. Com isso, podemos modelar sistemas astrofísicos, como galáxias, estrelas e buracos negros.
- Mecânica dos fluidos. Aqui, empregamos essa equação para modelarmos o comportamento de fluidos incompressíveis em condições estacionárias
- Teoria do potencial. Nessa teoria, usamos a EDP de Poisson para descrever o comportamento de funções harmônicas em uma região do espaço. Com isso, conseguimos ver o uso dessa EDP em importantes áreas da matemática como análise complexa, geometria diferencial e equações diferenciais parciais.
Em resumo, a Equação de Poisson é uma ferramenta matemática fundamental com uma ampla variedade de aplicações em diferentes áreas da física e da matemática aplicada.
