Neste texto o leitor é apresentado a função linear, seu conceito e algumas implicações do conceito. A função linear pode ser vista como um caso particular de uma afim e é bastante útil no estudo da proporcionalidade.
Revisão sobre função afim
Antes de irmos ao caso do texto vamos relembrar o que é uma função afim.
Sendo R o conjunto dos números reais, e um função f: R → R que tem a forma f(x) = ax+b, onde a e b são números reais e a é diferente de 0 é chamado de função afim.
Perceba que é diferente de 0, pois caso contrário teríamos uma função constante igual a b.
Assim também é possível notar que f(0) = b E ainda, é importante comentar que, sabendo dois pontos pertencentes a essa função distintos (x, f(x)) e (y, f(y)) é possível determiná-la unicamente.
a e b são chamados de coeficientes da função, é comum serem referidos como: a de coeficiente angular e b de coeficiente linear.
Se a for maior que 0 a função f é crescente e se a for menor que 0 a função f é decrescente.
Caso o leitor queira se aprofundar nas funções afim pode conferir a seguinte série de textos:
Função Linear
Uma função linear é que possui a seguinte “cara”: f(x) = ax. Logo é uma função afim cujo coeficiente linear é igual a 0.
Essa é uma das formas de caracterizar esse tipo, e uma outra, mais coloquial, é que uma função é linear se segue uma proporcionalidade.
Esta segunda noção pode não ser rigorosa o suficiente para o leitor, mas é possível ver que é justamente essa ideia de proporcionalidade que torna o estudo das funções lineares terem tantas aplicações, em especial modelando problemas.
Proporcionalidade.
Dizemos que uma função é diretamente proporcional quando para todo k, número real, f(k·x) = k·f(x).
Ainda isso implica que, no caso da proporção direta, f(x) = f(1·x) = x·f(1), e denominando f(1)=a temos que: f(x) = a·x. Logo, é um caso de função linear.
E, neste caso, chamamos o coeficiente angular como coeficiente de proporcionalidade.
Teorema da Função Linear.
A seguir está enunciado um Teorema que trás a ideia de uma caracterização das funções lineares. Pois, segue um série de equivalências. O Teorema também tem nome de Teorema da proporcionalidade em funções.
Teorema.
Seja f uma função crescente ou decrescente. Então são equivalentes:
1) f(x) = ax, onde a=f(1). Isto é, f é linear.
2) f(nx) = nf(x) para todo n número inteiro e x número real
3) f(x+y) = f(x)+f(y) para todos x e y números reais
Veja que esse Teorema permite que possamos verificar se uma função é linear apenas sabendo se ela é crescente ou decrescente e que f(nx) = nf(x) ou f(x+y) = f(x)+f(y).
