Decerto, ver geometria nos vestibulares em provas de matemática é algo tradicional e esperado em todos os processos seletivos do Brasil. Com efeito, a geometria é uma das áreas da matemática que no contexto do ensino básico desempenha um papel substancialmente significativo. Decerto, é através dela que o estudante tem contato com o mundo, suas percepções e sua regularização frente a uma primeira descrição matemática.
Nesse sentido, hoje nós da MeuGuru trouxemos para você um artigo especial voltado para a geometria nos vestibulares. Decerto, nesse artigo nós vamos te explicar as principais geometrias que você tem que deter conhecimento no ensino médio. Ademais, ainda te especificaremos um pouco sobre alguns aspectos de uma das figuras geométricas mais importantes: o triângulo. Então, vem conosco que hoje vamos mergulhar dentro do mundo da geometria e dos triângulos.
A importância da Geometria nos vestibulares
A geometria é uma área fundamental que aparece como subárea da matemática matemática. Com efeito, os gregos foram os primeiros a se debruçarem sobre o estudo das formas que compunham a terra a qual eles chamarem de Geometria. Decerto, grandes desenvolvimentos matemáticos foram feitos ainda por eles sendo a maior obra o livro Elementos escrito por Euclides o qual perde em número de vendas apenas para a Bíblia sagrada.
Entretanto, hoje a geometria por eles desenvolvida constitui apenas o ferramental básico para o início de estudos mais avançados. De fato, é por isso que essa é exigida como conhecimento essencial para qualquer estudante que tenha terminado o ensino médio no Brasil. Assim, esse assunto acaba sendo cobrado deveras vezes por vestibulares e pelo ENEM em provas de matemática.
Nesse sentido, o estudo da geometria constitui ferramenta essencial para você ir bem nos vestibulares. Com efeito, além de ser um tema recorrente e certeiro de questões ela ainda serve de base para que você compreenda outros assuntos de outras áreas como por exemplo da física.
Geometria plana nos vestibulares, espacial e analítica quais as diferenças ?
Entretanto, quando você começa a se aprofundar na matemática verá que há várias geometrias e que na verdade o termo geometria é apenas uma definição de algo muito maior. Decerto, assim há a geometria euclidiana (feita por Euclides e é a usual que estudamos), geometria Riemanniana, geometria diferencial, geometria Lorentziana e por aí vai. Todavia, no âmbito do ensino médio há apenas três que devemos considerar e destacamos a seguir:
Primeiro, vamos ver a Geometria Plana:
- Estuda figuras e propriedades geométricas limitadas a um plano.
- Exemplos de figuras planas incluem triângulos, quadrados, retângulos e círculos.
- As figuras são representadas por pontos, linhas, segmentos e ângulos.
- Propriedades como perímetro, área e congruência são estudadas.
Por conseguinte, a Geometria Espacial:
- Lida com figuras e propriedades geométricas no espaço tridimensional.
- Exemplos de figuras espaciais incluem cubos, esferas, cilindros e pirâmides.
- As figuras são representadas por pontos, linhas, superfícies e sólidos.
- Propriedades como volume, área da superfície e simetria são estudadas.
Por fim, a Geometria Analítica:
- Combina os conceitos da geometria com a álgebra.
- Utiliza coordenadas cartesianas para representar pontos e equações para descrever figuras geométricas.
- As figuras podem ser representadas por equações lineares ou curvas.
- Permite a análise e a resolução de problemas geométricos utilizando métodos algébricos.
O triângulo: relações métricas, ângulos e trigonométricas
Agora que você entende um pouco melhor a vastidão da geometria vamos nos focar em uma figura específica. Com efeito, focaremos no triângulo. Decerto, o triângulo é uma das figuras mais importantes da geometria plana ao passo que a partir dela é possível construir diversas outras figuras e ainda obter relações importantes como o Teorema de Pitágoras.
Então, vamos a classificação dos triângulos:
- O triângulo pode ser dito retângulo, e chamamos de triângulo retângulo, se ele possuir um ângulo de 90 graus.
- O triângulo pode ser dito equilátero, e chamamos de triângulo equilátero, se todos os seus lados forem iguais.
- Podemos ainda ter um triângulo dito isósceles, chamamos ele de triângulo isósceles, se dois dos seus lados forem iguais.
- Um triângulo é dito escaleno, e chamamos ele de triângulo escaleno, se os três lados possuem medidas diferentes.
Ademais, a primeira propriedade que citamos associa o triângulo com seus ângulos internos. Com efeito, há algumas propriedades que caminham nesse sentido e destacaremos a seguir.
Propriedades geométricas associadas a ângulos no triângulo
Nesse sentido, vamos então ver algumas propriedades dos triângulos. Com efeito, dado nosso objetivo vamos destacar apenas algumas propriedades que associam aspectos da geometria do triângulo com seus ângulos internos. Então, feita essa ressalva elencamos as seguintes propriedades que você deve ter em mente e guardar no seu coração para suas provas.
- O triângulo possui soma interna dos seus ângulos igual a 180 graus ou pi radianos.
- A área de um triângulo é dada pelo produto da base e da sua altura dividido por 2.
- Um triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo de 90 graus.
- Em um triângulo retângulo os lados são relacionados pelo teorema de Pitágoras.
- É possível definir relações dos ângulos com os lados que são as propriedades trigonométricas onde temos para um triângulo retângulo:
- Seno = cateto oposto / hipotenusa
- Cosseno = cateto adjacente / hipotenusa
- Tangente = seno/cosseno = cateto oposto/cateto adjacente
Vendo geometria nos vestibulares: Resolvendo uma questão da FUVEST !
(FUVEST – 1987 Adaptada). Considere dois triângulos retângulos que possuem um ponto em comum. Ademais, entre esse ponto em comum forma-se um ângulo de 90 graus. Além disso, o triângulo maior tem catetos que possuem medidas iguais a y e x. Todavia, o triângulo menor tem catetos p e m sendo que as duplas (y e p) e (x e p) são catetos que estão na mesma direção em pé e/ou deitados. Então, de posse disso estabeleça uma expressão para x/y em termos de m e p.
Geometria nos vestibulares: Solução passo a passo da questão!
Com efeito, vamos resolver a questão passo a passo. Então, primeiro vamos melhorar essa figura dando nomes a pontos que serão importantes e permitirão a nós identificarmos melhor alguns aspectos da questão. Assim, redesenhamos a figura a seguir.
Agora, introduzimos vários elementos que não tinham na figura inicial. Decerto, esses elementos não poderão aparecer na solução uma vez que foram nós que os introduzimos. Todavia, nós vamos utilizar eles para obter a resposta correta. Com efeito, note que os ângulos foram escritos assegurando que a soma interna do triângulo seja 180 graus. De fato, veja que.
Então, vamos mostrar, pela análise do ângulo no encontro dos vértices dos triângulos, que alfa e theta se relacionam. Com efeito, veja que.
Decerto, isso será extremamente útil para nós. Em verdade, a partir disso podemos estabelecer a seguinte relação trigonométrica das tangentes dos triângulos e então obter a relação entre x/y como queríamos.
Referências
- IEZZI, G.; MURAKAMI, C.; DEGENSZAJN, D.; PÉRIGO, R. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos e Funções. Editora Atual, 2013.
- GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática Fundamental: Uma Nova Abordagem. Editora FTD, 2016.
- DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. Editora Ática, 2019.
- IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. L. Fundamentos de Matemática Elementar: Geometria Plana. Editora Atual, 2015.
- GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática Completa: Volume Único. Editora FTD, 2017.
- DANTE, L. R. Matemática: Volume Único. Editora Ática, 2016.
- IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. L. Fundamentos de Matemática Elementar: Geometria Espacial. Editora Atual, 2017.
- GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único. Editora FTD, 2018.
- DANTE, L. R. Matemática e Realidade: Volume Único. Editora Ática, 2014.
- IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. L. Fundamentos de Matemática Elementar: Matemática Financeira. Editora Atual, 2019.
- Khan Academy. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/. Acesso em: 10 nov. 2023.
- Só Matemática. Disponível em: https://www.somatematica.com.br/. Acesso em: 10 nov. 2023.
- Mundo Educação. Disponível em: https://www.mundoeducacao.uol.com.br/. Acesso em: 10 nov. 2023.
- Educarede. Disponível em: http://www.educarede.org.br/. Acesso em: 10 nov. 2023.
- Matemática Didática. Disponível em: http://www.matematicadidatica.com.br/. Acesso em: 10 nov. 2023.
