Gödel e o Teorema da incompletude

Kurt Gödel foi um dos grandes matemáticos do século XX. Decerto, suas contribuições para a matemática são incríveis. Com efeito, esse proeminente matemático ocupa um lugar de destaque no cenário da lógica e seus resultados com relação a incompletude da matemática são extremamente fortes e tornam-se hoje bases fundamentais da matemática. Todavia, esse resultado é, por vezes, conhecido apenas por aqueles que ou se dedicaram em um grau mais profundo em matemática ou mesmo estudiosos da lógica.

Então, tendo isso em vista nós da MeuGuru decidimos montar esse texto prontinho para você. Com efeito, nesse artigo nós vamos te contar um pouco sobre quem foi Kurt Gödel. Ademais, exploraremos ainda seus dois Teoremas de incompletude. Assim, te traremos com esse artigo um pouco mais da cultura que permeia a matemática e ainda que a fundamenta. Portanto, vem ler esse texto gurunauta que agora vamos entrar no mundo da incompletude de Gödel.

Conheça Kurt Gödel

De fato, há inúmeros matemáticos de grande destaque na história da humanidade. Certamente, nomes como Gauss, Reimann, Legendre, Laguerre, Stokes, Russel, Ramanujam, Tales de Mileto e Pitágoras são alguns dos mais icônicos a serem lembrados. Todavia, há alguns nomes recentes que dado suas proeminentes descobertas se tornaram referências fortes na matemática. Em particular, podemos citar o matemático Kurt Gödel o qual fora responsável por um importante resultado no campo da lógica matemática.

Em suma, Kurt Gödel foi um renomado matemático e lógico austríaco, nascido em 28 de abril de 1906, em Brno, no então Império Austro-Húngaro (atualmente República Tcheca), e faleceu em 14 de janeiro de 1978, em Princeton, Estados Unidos. Ele é mais conhecido por seus trabalhos revolucionários no campo da lógica matemática, especialmente pelos teoremas da incompletude de Gödel.

O início de sua jornada na matemática

Em suma, Gödel cresceu em uma família de origem alemã e demonstrou habilidades matemáticas excepcionais desde cedo. Ademais, seguindo seus interesses nessa área o mesmo estudou matemática na Universidade de Viena, onde se destacou em lógica e teoria dos conjuntos. Então, ao longo de sua jornada acadêmica o mesmo ainda estabeleceu diversas relações amigáveis com outros matemáticos notáveis, como Hans Hahn e Karl Menger.

A publicação de seus resultados !

Com efeito, foi no ano de 1931 em que Gödel publicou seu trabalho mais famoso, intitulado “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme” (“Sobre proposições formalmente indecidíveis dos Principia Mathematica e sistemas relacionados”), no qual apresentou os teoremas da incompletude. De fato, esses teoremas estabelecem limites fundamentais para a prova de consistência em sistemas axiomáticos formalizados, mostrando que existem proposições matemáticas verdadeiras que não podem ser provadas dentro desses sistemas.

Ida para os Estados Unidos da América

Todavia, o momento histórico em que estava inserido impedia a produção matemática na Alemahã. Decerto, no ano de 1938, devido à ascensão do regime nazista, Gödel e sua esposa Adele emigraram para os Estados Unidos. Lá, ele começou a trabalhar na Universidade de Princeton. Com efeito, Gödel conseguiu se tornar cidadão americano em 1948 e permaneceu em Princeton pelo resto de sua vida.

O Teorema da incompletude de Gödel

Agora, vamos entrar exatamente no foco do nosso artigo. Com efeito, os Teoremas da incompletude de Gödel são dois resultados fundamentais em lógica matemática. Decerto, esses resultados foram estabelecidos por Kurt Gödel em 1931. Em particular, esses dois teoremas se concentram na área da lógica matemática e possuem implicações profundas para a teoria dos fundamentos da matemática e para a compreensão das limitações dos sistemas axiomáticos formais.

Com efeito, destacamos inicialmente o primeiro teorema da incompletude de Gödel, também conhecido como Teorema da Incompletude de Gödel, afirma que, em qualquer sistema formal axiomático suficientemente expressivo que inclua a aritmética dos números naturais, existem proposições verdadeiras que não podem ser provadas dentro desse sistema. Assim, usando outras palavras, não é possível estabelecer a consistência e a completude de um sistema axiomático formal suficientemente poderoso usando apenas suas próprias regras.

Ademais, o segundo teorema da incompletude de Gödel, conhecido como Teorema da Indecidibilidade de Gödel, estabelece que a consistência de um sistema axiomático formal suficientemente expressivo não pode ser provada dentro desse próprio sistema. Isso significa que, se assumimos que um sistema axiomático é consistente, não podemos provar essa consistência usando as regras e axiomas desse sistema.

Então, agora veja o grande problema desses Teoremas. Com efeito, a matemática em sí, a rigor em especial à definição de Popper, não é uma ciência. Em suma, a matemática configura-se exatamente como um sistema de axiomas ou seja é o exato sistema em qual Gödel trabalhou. Logo, isso nos diz que na matemática não é possível estabelecer a consistência e completude do sistema axiomático tomado e assim a matemática sempre irá requerer mais e mais desenvolvimentos. Por outro lado, isso ainda nos diz que sempre chegará um ponto em que cada ramo da matemática não terá mais recursos próprios para si sustentar.

Implicações do Teorema da incompletude

Agora, vamos discutir um pouco sobre os dois principais resultados

Os teoremas da incompletude de Gödel são dois resultados fundamentais em lógica matemática, estabelecidos por Kurt Gödel em 1931. Esses teoremas têm implicações profundas para a teoria dos fundamentos da matemática e para a compreensão das limitações dos sistemas axiomáticos formais.

Decerto, esses Teoremas, por mais que sejam de origem matemática estrita estabelecem ainda diversas implicações sobre outras áreas. Com efeito, ao passo que a própria matemática é um sistema axiomático segue então que há necessidade de sempre existir mais matemática para provar e demonstrar determinados resultados. Logo, talvez grandes problemas da matemática ainda não foram provados simplesmente por que o ramo matemático necessário, que contenha todos os recursos para tal demonstração, não surgiu ainda.

Então, nesse sentido o Teorema da incompletude garante que sempre haverá de ser necessário mais matemática para demonstrar a matemática que estamos fazendo. Portanto, a título de brincadeira podemos dizer que esse resultado garante aos matemáticos a bondade do emprego infinito.

Ademais, outra possível, mas controversa implicação seria com relação a outras ciências que utilizam a matemática para a descrição de seus aspectos fundamentais como a física por exemplo. Decerto, a física realiza a descrição de fenômenos naturais em termos matemáticos. Logo, talvez a própria física fosse incompleta por transitividade. Entretanto, esse argumento é controverso uma vez que nem todo o desenvolvimento matemático é de fato associado a descrição dos fenômenos naturais.

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