Olá, gurunauta! Hoje vamos falar conceitos fundamentais do início do Cálculo: Limite e Continuidade.
Muitos alunos tendem a não dar tanta importância a essa fase, afinal, é considerada a parte fácil. No entanto, os conceitos e ideias desenvolvidos e apresentados aqui têm um impacto que nos acompanhará pelo resto de nossas vidas.
Por isso, para tornar o assunto mais interessante, vamos focar em funções de mais de uma variável. Embora o conceito básico permaneça o mesmo, essa abordagem nos permite explorar questões mais complexas e ampliar nossa compreensão.
Então, nosso primeiro passo é explicar o que é uma função de mais de uma variável, começando pelas funções de duas variáveis independentes. Nesta etapa, aprenderemos a identificar o domínio e o intervalo dessas funções, além de explorar como representá-las graficamente.
Além disso, também vamos investigar maneiras de relacionar os gráficos de funções em três dimensões com os gráficos de funções planas, que são mais familiares e intuitivos para muitos estudantes.
Funções de Duas Variáveis
A definição de uma função de duas variáveis é semelhante à definição de uma função de uma variável. A principal diferença está no fato de que, em vez de associar valores de uma variável a outra (como em uma relação onde y depende de x), mapeamos pares ordenados de variáveis para um terceiro valor. Ou seja, temos um z que depende de (x,y).
De forma mais técnica, uma função de duas variáveis, z = f (x,y), mapeia cada par ordenado (x,y) em um subconjunto D do plano real ℝ² para um único número real z. Nesse contexto, o conjunto D é chamado de domínio da função. O intervalo de f é o conjunto de todos os valores reais de z que possuem pelo menos um par ordenado (x,y) ∈ D tal que f(x,y) = z.
Para uma melhor compreensão, observe a imagem para uma compreensão melhor, afinal, uma imagem vale mais que mil palavras!
Determinar o domínio de uma função de duas variáveis envolve considerar todas as restrições que possam existir no domínio da função. Essas restrições podem surgir de condições matemáticas, como divisões por zero, raízes de índices pares aplicadas a números negativos ou outras limitações impostas pelo contexto da função.
Por exemplo, f (𝑥,𝑦) = 4x² + 8y² +6𝑥 + 12𝑦 + 20 é uma função polinomial e sabemos que o domínio de uma função polinomial é todo o conjunto dos números reais, nesse caso, não há restrições, ou seja D = {(x, y) ∈ ℝ}.
Agora vamos observar a situação g (x, y) = √16 − x²− y² note que temos uma radiciação, ou seja o radicando precisa ser maior ou igual a zero, assim 16 − x² − y² ≥ 0 -> 16 ≥ x² + y² -> x² + y² ≤ 16 dessa maneira o D = {(x, y) ∈ ℝ | x² + y² ≤ 16}. Simples? Muito! Sempre devemos prestar atenção às restrições, no geral, funções logarítmicas, racionais e outras limitações, lembre-se, a função precisa existir nos reais.
Representação Gráfica de Funções de Duas Variáveis
Suponha que desejamos representar graficamente a função z=f(x, y). Nesse caso, a função possui duas variáveis independentes (x e y) é uma variável dependente (z).
Ao representar graficamente uma função de uma variável, como y=f(x), utilizamos o plano cartesiano. Nesse plano, cada ponto no plano corresponde a um par ordenado (x, y). Por outro lado, no caso de uma função de duas variáveis, cada par ordenado (x, y) no domínio da função é mapeado para um único número real z. Desse modo, o gráfico da função f consiste em triplas ordenadas (x, y, z). Esse gráfico, no espaço tridimensional, é chamado de superfície.
Para compreender melhor como um conjunto de triplas ordenadas forma uma superfície no espaço tridimensional, imagine o plano xy disposto horizontalmente. Em seguida, considere que cada ponto no domínio da função f tem um valor único de z associado a ele.
- Se ‘z’ for positivo, o ponto correspondente estará acima do plano xy.
- Se ‘z’ for negativo, o ponto estará abaixo do plano xy.
O conjunto de todos esses pontos forma uma superfície bidimensional no espaço tridimensional, que representa o gráfico da função f.
Assim, podemos observar a função g (x, y) = √16 −x² − y² abaixo:
Curvas de Nível
Antes de explorarmos os limites, é importante fazer uma pausa para abordar um conceito essencial: as curvas de nível. Para ilustrar, imagine aventureiros caminhando por trilhas acidentadas e utilizando um mapa topográfico para visualizar as variações de altitude ao longo do percurso. Nesse tipo de mapa, encontramos linhas curvas, chamadas de linhas de contorno, que conectam pontos de mesma elevação.
De maneira análoga, uma curva de nível de uma função de duas variáveis f(x, y) representa os pontos no plano cujos valores da função são constantes. Assim como as linhas de contorno em um mapa topográfico indicam regiões de mesma altitude, as curvas de nível de uma função ajudam a visualizar sua estrutura tridimensional em um gráfico bidimensional.
Para encontrar um conjunto de curvas de nível é simples, fazemos a função f(x, y) = c (constante), e encontramos o gráfico no sistema coordenado xy.
Vamos aplicar esse conceito com a nossa função “teste” para facilitar o entendimento: g (x, y) = c
g (x, y) = √16 − x² −y²
√16 − x² − y² = c
16 − x² − y² = c²
c² = 16 − (x² + y²)
(x² + y²) = c² − 16
Lembrando que D = {(x, y) ∈ ℝ | x² + y² ≤ 16} assim, temos (x² + y²) ≤ 4² o “c” máximo é 0 ≤ c ≤ 4.
Observe o gráfico abaixo para melhor compreensão:
Após explorarmos funções de múltiplas variáveis e seus gráficos, nosso próximo passo será analisar os limites dessas funções e sua continuidade em pontos do domínio. Nessa etapa, vamos nos deparar com conceitos que possuem características únicas, ausentes nas funções de uma variável. Essa diferença torna a análise de limites ainda mais interessante e rica em possibilidades.
Limite de uma Função de Duas Variáveis
Nessa perspectiva, a definição de limite de uma função de uma variável é a seguinte:
Seja f(x) uma função definida para todo x ≠ a em um intervalo aberto que contém a. Seja “L” um número real. Então, dizemos que:
f (x) = L
se, para todo ∈ > 0, existe um δ > 0 tal que, se 0 < |x − a| < para todo x no domínio de f, então:
|f (x) − L| < ∈
Agora, para estendermos a definição de limite para uma função de duas variáveis, é essencial, primeiramente, compreender como adaptar o conceito de intervalo aberto de uma variável para um intervalo aberto em duas variáveis. Essa adaptação será fundamental para entendermos como os limites se comportam em funções que dependem de mais de uma variável.
Definição do disco δ: Limite
Considere um ponto (a, b) ∈ ℝ². Um disco δ centrado no ponto (a, b) é definido como um disco aberto de raio δ centrado em (a, b), isto é:
{(x, y) ∈ ℝ²| (x − a) ²+ (y − b) ² < δ²}
Portanto, como podemos observar no gráfico com disco centrado em (2, 1)
A ideia de um disco δ aparece na definição de limite de uma função de duas variáveis. Nesse contexto, se δ é pequeno, então todos os pontos (x, y) dentro do disco δ estão próximos de (a, b). Essa proximidade é análoga à condição de x estar próximo de a na definição de limite de uma função de uma variável. Portanto, em uma dimensão, expressamos essa proximidade com a restrição:
a − δ < x < a + δ
Enquanto isso, em mais de uma dimensão, usamos o conceito de disco δ.
Limite de uma Função de Duas Variáveis
Seja “f” uma função de duas variáveis, x e y. O limite de f(x, y) conforme (x, y) se aproxima de (a, b) é L, escrito como:
f (x, y) = L
se, para todo ϵ > 0, existe um δ > 0 pequeno o suficiente, tal que para todos os pontos (x, y) em um disco δ ao redor de (a, b), exceto possivelmente para (a, b) em si, o valor de f(x, y) não está a mais de ϵ de distância de L.
Em termos formais, escrevemos: Para qualquer ϵ > 0, existe um número δ > 0 tal que:
|f(x, y) − L| < ϵ
sempre que:
0 < (x − a)² + (y − b)² < δ²
Provar que um limite existe utilizando a definição de limite de uma função de duas variáveis pode ser desafiador. Em vez disso, podemos usar o seguinte teorema, que oferece atalhos para calcular limites de forma mais eficiente. As fórmulas neste teorema são uma extensão das fórmulas presentes no Teorema das Leis de Limite.
Teorema das Leis de Limite (Propriedades dos Limites)
Sejam f(x, y) e g(x, y) definidas para todos (x, y) = (a, b) em uma vizinhança ao redor de (a, b), e assume-se que essa vizinhança esteja completamente contida dentro do domínio de f. Suponha também que L e M sejam números reais tais que:
f (x, y) = Leg (x, y) = M
e que “c” seja uma constante. Então, cada uma das seguintes afirmações é verdadeira:
1) Regra da Constante
c = c
2) Regra da Identidade
x =a e y = b
3) Regra da Soma
(f (x ,y) + g (x, y)) = L + M
4) Regra da Diferença:
(f (x, y) − g (x, y)) = L− M
5) Regra da Multiplicação por uma constante
k . f (x, y) = k . L e k . g (x, y) = k . M
6) Regra do Produto
f (x, y) . g (x, y) = L . M
7) Regra do Quociente
{f (x, y) / g (x, y) = L/M
8) Regra da Potência
[f (x, y)]ⁿ = Lⁿ e [g (x, y)ⁿ] = Mⁿ
9) Regra da Raiz
√f (x, y) = √L e √g (x, y) = √M
Continuidade
A continuidade de uma função de uma variável depende do limite de uma função de uma variável. Em particular, três condições são necessárias para que f(x) seja contínua no ponto x=a:
- f (a) existe.
- f (x) existe.
f (x) = f (a) = L
Essas três condições são igualmente necessárias para a continuidade de uma função de duas variáveis. Assim:
- f (a, b) existe.
- f (x, y) existe.
f (x, y) = f (a, b) = L
Por fim, para determinar se o limite de f(x,y)existe, podemos recorrer ao teorema dos dois caminhos, que afirma:
Se uma função apresenta limites diferentes ao longo de dois caminhos distintos no domínio, ao se aproximar de um ponto (a, b), então o limite não existe.
Em outras palavras, se o limite de f(x, y) depende do caminho seguido para se aproximar de (a, b), isso significa que o limite não é único. Portanto, a função não possui um limite bem definido nesse ponto.
Para que o limite de uma função de duas variáveis exista em um ponto, ele deve ser o mesmo independentemente do caminho escolhido para se aproximar desse ponto.
Certinho? Relembramos juntos a definição de limites de funções de uma variável e aprendemos como esses conceitos se aplicam às funções de duas variáveis. Nos vemos na próxima aula, com alguns exercícios para praticar e consolidar o aprendizado!
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