O momento linear é uma das quantidades físicas muito relevantes em física 1/mecânica 1. Certamente, o início do estudo da física a qual compreende o entendimento da mecânica seja tanto do ponto de vista da dinâmica ou da cinemática estabelecem as fundações necessárias para que você consiga progredir nos estudos para campos mais avançados. Nesse sentido, um dos pilares para um bom entendimento da mecânica sob formalismo de Newton é a compreensão do momento ou quantidade de movimento de um corpo.
Nesse sentido, desenvolvemos esse texto especificamente para tratar do momento e/ou quantidade de movimento bem como algumas aplicações interessantes em problemas de espalhamento clássico e/ou conservação do momento linear. Então, vem com a gente que esse artigo tem um conteúdo especial para você que está iniciando seus estudos em mecânica e física 1. Ademais, ao fim desse artigo vamos resolver o problema clássico do espalhamento por duas partículas usando o formalismo newtoniano e a conservação do momento linear.
Entendendo o Momento linear e a quantidade de movimento
Bom, iniciando nosso texto vamos buscar te explicar o que significa o momento linear. Com efeito, essa quantidade física que é uma quantidade vetorial que é definida, em mecânica clássica, pelo produto entre massa e velocidade então podemos escrever o seguinte.
Assim, essa é uma quantidade física que associa o movimento do corpo por conta da velocidade com a inércia do mesmo dado a contribuição da massa. Nesse sentido, essa quantidade tem por si só uma física muito interessante, em particular, podemos ver pelo desenvolvimento a seguir que da segunda lei de Newton temos.
Logo, isso segue que a segunda lei de Newton para uma força externa F pode ser escrita em termos do momento linear, mais especificamente, em termos da variação temporal (derivada no tempo) do vetor momento linear. Assim, temos uma segunda forma de escrever a segunda lei de Newton.
Entretanto, vale a ressalva que a forma da segunda lei de Newton como conhecemos (f=ma brevemente) é apenas uma consequência do resultado acima. Decerto, quando Newton derivou a sua lei fundamental pela primeira vez o mesmo escreveu a dinâmica dos corpos em termos do momento e não da aceleração em sí.
Comentário sobre o momento
Como já mencionamos, o momento linear é um vetor que aparece com definição bem precisa em mecânica clássica. Porém, o vetor momento adquire diferentes formas para alguns regimes de comportamento distintos que são o regime relativístico e o regime da mecânica quântica. Em suma, nesses cenários o momento é um dos ingredientes chaves para a descrição física dos sistemas de interesse além de que é capaz de ser um dos principais elementos em outras descrições, inclusive da própria mecânica clássica, a citar no formalismo Hamiltoniano. Uma vez que, nesse formalismo, o momento generalizado que associa-se a uma coordenada generalizada e com isso estabelecem o espaço de fase que é um dos importantes espaços matemáticos para formalização da mecânica clássica simplética.
A segunda lei de Newton e momento linear
Agora, vamos voltar a discussão sobre a segunda Lei de Newton e o momento linear. Com efeito, sabemos agora então que a mecânica Newtoniana pode ser descrita em termos do momento seguindo a seguinte equação
em que F é o vetor associado as forças externas que agem sobre o sistema. Decerto, essa formalização da segunda lei de Newton nos permite investigar alguns aspectos bem interessantes sob alguns casos particulares da força. Por conseguinte, um dos casos que toma grande destaque é o caso onde F é identicamente nula. Ou seja, quando não há forças que agem sobre o sistema.
Conservação do momento linear
Com efeito, avaliaremos o caso particular onde F é nula. Assim, quando temos um sistema de partículas ou mesmo quando um dado sistema não tem quaisquer forças agindo sobre segue que o termo F na equação acima é nula e então podemos fazer o seguinte desenvolvimento.
e isso mostra que o momento final (rotulado com índice f inferior) e o momento inicial (rotulado com índice 0 inferior). Assim, estabelecemos uma lei de conservação para o momento linear na mecânica, sendo que, na ausência de forças externas o momento linear é conservado. Decerto, essa é uma lei de conservação importante e inclusive será o ponto de partida para o problema que resolveremos a seguir.
Resolvendo um problema: Conservação do momento e espalhamento
Agora, vamos então atacar um problema que associa o momento linear. Então, nosso problema é é o seguinte temos uma partícula de massa m e uma de massa M em que a de massa m se movimenta com o vetor velocidade v conforme descrito na figura a seguir. Ademais, a partícula de massa M está em repouso inicialmente e logo depois de uma colisão com a partícula de massa m ambas iniciam um movimento em ambos os eixos direcionais sob ângulos alfas e betas.
De posse disso, vamos determinar o módulo da velocidade de ambas as partículas sob o formalismo de newton. Com efeito, o desenvolvimento dessa questão não é tão complicado embora precisamos dar nomes as quantidades e chamaremos a partícula laranja com rótulo inferior 1 e a partícula escura com rótulo inferior 2 sendo v o símbolo que associa a quantidade velocidade.
Solução da questão!
Então, vamos empregar a conservação do momento linear nessa questão a qual nos diz que a variação do momento é zero conforme determinamos acima. Desse modo veja que temos então o seguinte desenvolvimento já tomando as decomposições das velocidades.
Agora, igualando componente a componente do vetores temos então o seguinte sistema linear para determinar. Em que, as variáveis a serem determinadas são v1 e v2.
Decerto, veja agora que podemos isolar a variável v2 acima e então por conseguinte podemos determinar v1 com efeito, veja o seguinte desenvolvimento
Todavia, ao passo que determinamos v1 podemos então determinar v2 facilmente. Em suma, essa determinação é feita simplesmente levando v1 em v2 de modo que é possível obter o seguinte desenvolvimento.
E com isso, o nosso problema fica totalmente determinado. Decerto, você pode continuar o desenvolvimento e simplificar um pouco, caso você ache necessário, todavia, essa já é uma resposta bem aceitável para esse problema de espalhamento bem arbitrário e com alto grau de generalidade.
Referências
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