Neste texto iremos abordar a definição do conjunto numérico mais básico que intuitivamente usamos desde cedo e tão cedo quanto aprendemos algumas de suas propriedades e como operar seus elementos antes até de entender completamente o que ele é. Estamos falando do Conjunto dos Números Naturais.
Introdução
Não por acaso esse conjunto numérico é chamado de naturais. A ideia de naturalidade está relacionada a algo que surge quase que espontaneamente de forma inevitável como se fosse a alternativa certa a se seguir.
Da mesma forma surge essa ideia de números um conjunto abstrato de coisas que sugerem um modelo, o de contar algo.
A ideia de coisas distintas em mesma quantidade serem igualadas conduz naturalmente a noção de número natural, por exemplo, contar carneirinhos separando pedras onde cada uma é equivalente a um carneiro e assim o conjunto de todas elas é equivalente ao conjunto de todos os carneiros e por isso eles têm a mesma quantidade, e a essa quantidade podemos chamar de número de carneirinhos, que é igual ao número de pedras.
Essa é a primeira noção de número, a mais natural, e naturalmente (hehehe) chamaremos os números que podemos usar para contar de Números Naturais.
Faça o exercício de começar agora a contar carneirinhos, ou maçãs, ou teclas do seu teclado. Três carneirinhos, uma maçã, oitenta teclas, então 3, 1 e 80 são números naturais.
Definição axiomática
Vamos agora dar uma definição mais ingênua de números naturais que não apelam para conceitos circulares.
Seja um conjunto que os elementos possuem a seguinte característica.
1) Todo número possui um único sucessor;
2) Números diferentes possuem sucessores diferentes;
3) Apenas um elemento desse conjunto não é sucessor de nenhum outro;
4) Para cada elemento desse conjunto o sucessor também está no conjunto;
O conjunto com essas características é chamado de Conjunto dos Números Naturais e seus elementos são os Números Naturais. O elemento de 3) é denotado de 1.
O leitor pode observar que não definimos o que é ser um sucessor, mas basta que cada número leve num outro e esse outro diremos que é o sucessor dele. Nós nomeamos como sucessor do 1 o 2, e do 2 o 3, e do 3 o 4, e assim por diante.
Essas regrinhas que aprendemos são os Axiomas de Peano.
Observações sobre os números naturais.
A ideia básica que devemos carregar dos números naturais é que é o seguinte conjunto {1, 2, 3, 4, …}, isto é, os números que usamos para contar. Chamamos esse conjunto por N, um “n”, ene, maiúsculo.
Há definições análogas de números naturais que iniciam com o 0 ficando com o seguinte conjunto {0, 1, 2, 3, …}, esse é um debate que costuma animar estudante, a princípio isso faz pouca diferença para nossos objetivos, então quando conveniente uso os naturais com ou sem o 0.
Aqui no blog você verá a construção de outros conjuntos números como os Número Inteiros. Segue nos acompanhando para aprender cada vez mais.
