Os sólidos de revolução são formas tridimensionais que surgem quando uma curva bidimensional gira em torno de uma linha dentro do mesmo plano. Vamos simplificar as coisas: imagina um gráfico qualquer (de uma função y= f(x) qualquer) no eixo xy. Pronto, agora, gira essa função em dos eixos (x ou y), feito?
Então, agora imagine que o que fizemos deixará uma “marca” e formará o esboço de uma forma qualquer! Pronto, agora volte e leia a definição mais uma vez, e assim temos o “sólido de revolução”, mas, só isso pouca serventia tem! Porém, muitas pessoas o utilizam, principalmente, como o primeiro passo para calcular o volume de “sólidos de revolução”.
Nesse contexto, calculamos o volume desses sólidos de revolução utilizando integração (afinal, pense comigo: se a área abaixo da curva representa a integral, o volume será a integral em movimento de rotação).
Para tentar facilitar mais o entendimento, imagine que a integral simples de uma função eu teria apenas uma “folha” (área), agora vou pegar “infinitas” folhas (iguais) e colocá-las lado a lado até preencher todo o espaço, ficou mais claro? Principalmente o porquê precisamos da integração? Se não, fique calmo, vamos continuar que tudo se esclarecerá!
Volume de Sólidos de Revolução
As técnicas mais comuns para determinar o volume incluem o método do disco, o método da casca e o método da arruela. Assim, a rotação de uma área plana RR em torno de uma linha LL, conhecida como eixo de revolução, gera o volume de um sólido de revolução no plano. Usamos o conceito de integrais definidas para encontrar o volume da curva que gira em torno de qualquer linha.
Se girarmos qualquer curva ao longo da linha, então forma uma figura que é uma estrutura 3D e encontramos o volume usando o conceito de integração. Suponha que pegamos uma curva y = f(x) que gira em torno do eixo x. Se ainda não entendeu, é agora a hora, basta observar a imagem, que você entenderá.
Quando recebemos a equação da curva, podemos facilmente calcular o volume da forma em uma região delimitada. Mas se a equação da curva se dá na Forma Paramétrica, ou Forma Polar, precisamos fazer alguns ajustes (transformação de coordenadas apenas).
Forma paramétrica
Se a equação da curva estiver na forma paramétrica, ou seja:
y= g(t)
x= f(t)
Ao limitar na região em que t varia de t₁ a t₂, então o volume de revolução será em uma rotação em relação ao eixo-x:
Já para uma rotação em relação ao eixo-y teremos:
A equação da curva na forma polar é, r=f, onde θ varia de θ₁ a θ₂. Assim, calculamos o volume de revolução, inicialmente, sobre a linha OX, ou seja, o eixo x (θ = 0):
Já sobre a linha perpendicular à linha inicial, ou seja, ao longo de OY (θ = π/2) temos:
Sólidos de Revolução: Fórmula do Volume de Revolução
Claro, as fórmulas acima, já são a sua forma simplificada, poderíamos falar horas e horas em como obtê-las, porém, para o nosso objetivo é ser muito criterioso. Já vimos, mas vou falar mais uma vez para que você guarde bem.
O volume de revolução é o volume da curva formada pela rotação de uma curva sólida no eixo x ou no eixo y. Assim, para encontrá-lo usamos integração para encontrar a área de uma curva em um intervalo fixo. Por exemplo, suponha que queremos encontrar a área da curva y = x³ na região x = 0 e x = 3, então usando a integração teremos a área como:
A = ³∫₀ x³dx
Agora suponha que se a mesma curva for girada ao longo do eixo x, o volume da forma assim formada será calculado usando a fórmula, V = ᵇ∫ₐ 𝛑 (f(x))²dx. Se a curva for girada ao longo do eixo y, o volume da forma assim formada será calculado usando a fórmula, V = ᵇ∫ₐ 𝛑 (g(y))²dy e de onde saiu isso? Para não complicar tanto, vamos lembrar da fórmula do volume de um cilindro reto V = r² * h nota-se alguma semelhança? Se sim, não é mera coincidência, um y = f(x) -> y = r e com a = 0 e b = h teremos então:
V = ᵸ∫ₒ 𝛑 (r)²dx = 𝛑 (r)² * x|ₒᵸ = 𝛑r² (h−0) = 𝛑r²h
V = 𝛑r²h
Viu só, chegamos na “fórmula mágica” do volume do cilindro, ou seja, o volume do cilindro é o sólido formado pela rotação de de uma função constante, r.
Chamamos esse método de encontrar o volume de “método do disco”, mas vamos explorá-lo um pouco mais!
Método dos discos
Como já iniciamos, o método do disco é uma técnica para calcular o volume de uma figura 3D. Para isso, definimos o eixo de revolução como o limite da região plana e posicionamos as seções transversais perpendicularmente a esse eixo.
Agora, a área da seção transversal do disco é 𝛑r² e o volume do disco é a área vezes sua espessura. Porém precisamos considerar:
- Se o disco for perpendicular ao eixo x, então seu raio é a função de x (região tipo I).
- Se o disco for perpendicular ao eixo y, então seu raio é a função de y (região tipo II).
Agora o volume do sólido gerado pela rotação da curva y = f(x) e o eixo da rotação é o eixo x, então seu volume no intervalo [a, b] é, V = ᵇ∫ₐ 𝛑 (f(x))²dx para a região tipo I (rotação em torno do eixo-x) e V = ᵇ∫ₐ 𝛑 (g(y))²dy para região do tipo II (rotação em torno do eixo-y).
Método da Arruela (anel)
Simples até aqui! Já para o Método da arruela ou anel, tomamos o eixo de revolução não como o limite da região plana e a seção transversal é tomada perpendicularmente ao eixo de revolução. A arruela é considerada o disco com furo. Agora, para calcular a área da arruela, a fórmula é R2–r2 e seu volume é a área vezes sua espessura (ou seja, uma aplicação do método dos disco).
Entretanto, o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por y = f(x) e y = g(x) no intervalo [a, b] se f(x) ≥ g(x) então seu volume em torno do eixo x será:
V = ᵇ∫ₐ 𝛑 (f (x)² – g(x)²) dx
Podemos então pensar de forma análoga para uma região do tipo II, se a região for limitada por x = f(y) e x = g(y) no intervalo [a, b] se f(y) ≥ g(y) então seu volume em torno do eixo y será:
V = ᵇ∫ₐ 𝛑 (f (y)² – g(y)²) dx
Método da Casca
Muitas vezes, um determinado problema pode ser resolvido de mais de uma maneira. Um método específico pode ser escolhido por conveniência, preferência pessoal ou talvez necessidade. No final das contas, é bom ter opções, costumo dizer que para sair do ponto A até o ponto B, não importa tanto o caminho, desde que se chegue ao destino (mesmo que a linha reta seja o menor, ou o espaço-tempo curvo, porém tu entendeu).
Nós vimos os Métodos do Disco e da Arruela (anel), que calculavam o volume de sólidos de revolução integrando a área da seção transversal do sólido. Agora, para o método da casca, pense no seguinte, ao invés de fatiar o sólido perpendicularmente ao eixo de rotação criando seções transversais, agora o fazemos paralelamente ao eixo de rotação, criando “cascas”.
Observe atentamente a imagem anterior. Na figura (a), a região exibida é girada em torno do eixo, formando o sólido mostrado em (b). Uma pequena fatia da região, desenhada em (a) e posicionada paralelamente ao eixo de rotação, gera uma casca cilíndrica (c) quando a região é rotacionada.
Para calcular o volume de uma casca, vamos considerar o rótulo de papel em uma lata qualquer (cilíndrica para facilitar nossa imaginação). Qual é a área deste rótulo? Uma maneira simples de determinar isso é cortar o rótulo e colocá-lo no plano, formando um retângulo com altura e comprimento. Portanto, a área é A = 2 𝛑rh
Agora vamos fazer um processo parecido a uma casca cilíndrica, com altura, espessura e raio. Se eu cortar a caixa e planificá-la, teremos a forma de sólido retangular com comprimento, altura e profundidade. Portanto, o volume é V = 2 𝛑rhΔx
Assim, podemos ter um Δx tão pequeno (dx) que podemos aproximar o volume a soma de infinitas cascas cilíndricas
Essa forma nos lembra o que? Se estudou bem, em Cálculo I, a resposta deverá ser uma Soma de Riemann, ou seja, podemos resolver por integração também. Dessa maneira, seja um sólido formado pela rotação de uma região, limitada por [a,b], em torno de um eixo. E a distância do eixo de rotação para r(x) (ou seja, o raio de uma casca de amostra) e seja
a altura do sólido em h(x) (ou seja, a altura da casca). O volume do sólido por fim será:
E se o eixo de rotação for em x, de forma análoga temos
Viu? Simples, simples! Então gurunauta, agora é contigo, pegue outros exemplos, use outras aplicações, qualquer dúvida, sabe a quem procurar! E até a próxima!
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