Oscilador Harmônico: Um tutorial sobre o sistema massa mola

O oscilador harmônico é um dos sistemas físicos de maior importância no sentido de modelagem de processos físicos. De fato, há vários problemas físicos que podem ser mapeados em um oscilador harmônico simples. Ademais, vários problemas complexos, como oscilações podem também se reduzir ao problema de um oscilador harmônico. Em suma, poderíamos fazer um artigo inteiro apenas listando aplicações advindas do oscilador harmônico.

Todavia, para muito além de oscilações e sistemas físicos esse sistema é um problema canônico em provas de física ondulatória e ainda na disciplina de equações diferenciais ordinárias, fora as diversas disciplinas específicas de física e engenharia que se valem desse mesmo modelo. Assim, tendo isso em vista nos dá MeuGuru decidimos trazer para você gurunauta esse texto. Com efeito, nesse artigo exploraremos o que é um oscilador harmônico e como você deve tratar problemas envolvendo o mesmo. Ademais, esse artigo será uma expansão de um antigo texto nosso que você pode ver clicando aqui.

Entendendo as oscilações harmônicas

Com efeito, antes de irmos direto ao oscilador harmônico que é nosso objetivo devemos primeiro entender o que são as oscilações harmônicas. Decerto, oscilações na física correspondem em uma repetição periódica de um movimento em torno de uma posição de equilíbrio. Ademais, esse tipo de configuração dinâmica é extremamente relevante para a física ao passo que está associada a diversos sistemas seja diretamente ou de forma aproximativa.

Então, com a finalidade de explicarmos melhor esse assunto é necessário entendermos o que gera as oscilações do ponto de vista físico. Com efeito, oscilações podem ser representadas matematicamente por ondas que já conhecemos. Decerto, essas ondas são em geral dadas pelas funções seno e cosseno, obviamente há ondas complicadas que são geradas por combinações de senos e cossenos e até advindas de outras funções especiais, as quais não vem ao caso nesse artigo.

Potencial e forças associadas as oscilações harmônicas

Então, pensando em um tipo de potencial associado a essas funções podemos entender que esse sempre poderá ser escrito como sen(x) uma vez que cos(x+π/2)=sen(x) que evidencia que essas funções diferem por uma fase oscilatória. Então, recorrendo as expansões em série de potência teremos, para a série centrada em a=0 que sen(x) pode ser escrito como:

• sen(x) = x – x³/3! + x⁵/5! – . . . .

Com efeito, temos então que o a função sen(x) pode ser aproximada por uma série com termos polinomiais. Todavia, nós bons físicos que somos sempre buscamos entender como interagimos com a natureza e de fato, vários problemas físicos se reduzem em boa aproximação para apenas o primeiro termo dessa série. Logo, no regime onde x é pequeno vale a aproximação sen(x) ≈ x.

Ademais, chamamos essa de aproximação de aproximação harmônica uma vez que tomando x como deslocamento de uma partícula segue que a força associada ao mesmo tem a seguinte forma: F = ksen(x) ≈ kx. Em suma, temos a exata lei de Hooke como caso particular da expansão da função sen(x). Ademais, podemos ver facilmente que essa força pode ser escrita como:

• F = kx = kD (x²/2) => V(x) = kx²/2

isto é, temos uma função quadrática do segundo grau. Decerto, V(x) é uma função potencial associado ao movimento harmônico. Ademais, podemos ver o gráfico dessa função a seguir.

Assim, temos que o gráfico da função potencial é tal que cada órbita (possível movimento oscilatório) que é representado pelas linhas azuis traçadas fica aprisionado dentro do regime do potencial. Em suma, isso caracteriza o movimento harmônico oscilatório.

Conhecendo o oscilador harmônico: o sistema massa mola

Então, entendendo que as oscilações harmônicas são produzidas por forças do tipo f = -kx podemos examinar nosso problema. Com efeito, um dos clássicos exemplos associados ao oscilador harmônico é o sistema massa mola. Em suma, esse sistema constitui-se de uma massa m presa a uma mola de constante elástica k que se move em algum eixo bem definido de um sistema de coordenadas. Certamente, há várias generalizações quanto a isso pois podemos considerar a constante elástica como uma função k(t) do tempo ou k(x) da posição que modelaria variações na intensidade dessa constante devido a algum fator como o desgaste do material entre outros.

Então, podemos considerar o sistema massa mola como a seguinte representação esquemática.

Entendendo a dinâmica do oscilador harmônico

Então, uma vez que conhecemos o sistema podemos buscar descrever o mesmo com as leis da física que conhecemos. Decerto, aqui usaremos simplesmente a boa e velha segunda Lei de Newton, certamente, a expressão que você viu na educação básica como simplesmente Fr =ma onde Fr é a força resultante é muito mais forte do que você imagina gurunauta. Bom, para isso basta lembrarmos que a aceleração pode ser vista como a derivada segunda da função de posição x(t) que é o eixo que estamos nos movimentando.

Portanto, de posse do dito acima vamos deduzir a expressão para a equação de movimento do oscilador harmônico.

Ademais, vale ressaltar que o termo w corresponde a frequência angular de oscilação do sistema. Então, ao passo temos que essa equação podemos prosseguir resolvendo ela. Com efeito, essa é uma EDO de segunda ordem de coeficientes constantes a qual sabemos resolver via um ansatz (solução pronta e.e) da forma exponencial. Então, veja a seguir:

Onde A = A₊ + A_– e B = (A₊ – A_– )i. Ademais, há outra forma de exibir tal solução que é a seguinte.

Com efeito, deixaremos como exercício para você mostrar que essas expressões são equivalentes e lá vai uma dica: expanda a nova solução usando soma de arcos da função seno e identifique os termos com a solução inicialmente obtida. Além disso, tente ainda obter uma expressão associada ao cosseno. Ou seja, Gcos(wt + p) e identifique os termos G e p de forma similar ao feito anteriormente.

Grandezas no oscilador harmônico

O desenvolvimento acima nos mostra algumas características muito importantes do oscilador harmônico. Em suma, essas características são aquelas que associadas a grandezas físicas. Nesse sentido, nós vamos agora elencar as principais quantidades desse sistema físico.

• De início, temos o ômega w. Com efeito, esse termo é a frequência angular do sistema que é empregada para entendermos a frequência com que o oscilador está executando seu movimento. De fato, é usual usarmos a frequência angular em vez da frequência usual uma vez que podemos descrever a posição do oscilador harmônico por funções seno e cossenos segue que temos um movimento que podemos entender com o estudo do círculo unitário trigonométrico.
• Analisando a solução apresentada na forma alternativa podemos identificar que F corresponde a amplitude de oscilação do sistema.
• Ademais, o termo phi que aparece no argumento da função seno corresponde a um deslocamento de fase que aparece quando a oscilação inicia seu movimento para fora da origem do sistema de coordenadas.

Referências

1. TAYLOR, John R. Mecânica Clássica. Tradução: Yvonne Capuano. Rio de Janeiro: LTC, 2005. ISBN: 978-1938787751.
2. PURCELL, Edward M. Eletricidade e Magnetismo. Tradução: David J. Griffiths. São Paulo: LTC, 2013. ISBN: 978-0070049081.
3. ZETTILI, Nouredine. Mecânica Quântica: Conceitos e Aplicações. Tradução: Carlos Alberto de Bragança Pereira. São Paulo: Artmed, 2009. ISBN: 978-0470026793.
4. REIF, F. Física Estatística e Termodinâmica. Tradução: Eustáquio Araújo. São Paulo: Edgard Blücher, 2001. ISBN: 978-0471057000.
5. MARION, Jerry B.; THORNTON, Stephen T. Classical Dynamics of Particles and Systems. 5ª ed. Boston: Cengage Learning, 2003. ISBN: 978-0534408961.
6. GOLDSTEIN, Herbert; POOLE, Charles P.; SAFKO, John L. Classical Mechanics. 3ª ed. San Francisco: Addison-Wesley, 2001. ISBN: 978-0201657029.
7. FOWLES, Grant R.; CASSIDAY, George L. Analytical Mechanics. 7ª ed. Belmont: Brooks Cole, 2004. ISBN: 978-0534494926.
8. HyperPhysics – Oscillations: Disponível em: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/oscda.html. Acesso em: 20 de dezembro de 2023.
9. Khan Academy – Simple Harmonic Motion: Disponível em: https://www.khanacademy.org/science/physics/simple-harmonic-motion. Acesso em: 20 de dezembro de 2023.