Certamente, problemas de otimização em cálculo 1 são um dos tópicos mais recorrentes dessa disciplina quando começamos a ver as aplicações do cálculo. De fato, muito mais importante do que ter em mente as regras de derivação e as noções elementares de limites é saber como podemos colocar em prática todo esse ferramental teórico em problemas reais.
Nesse sentido, os problemas de otimização configuram-se como os principais problemas que podemos empregar as noções de cálculo. Assim, nesse texto nós da Meu Guru elaboramos um tutorial simples e direto ao ponto sobre as principais noções de como você pode resolver problemas de otimização no Cálculo. Certamente, em um artigo futuro vamos fazer a versão desses problemas para o cálculo de várias variáveis.
Então, vem conosco que nesse texto vamos te ensinar como você pode otimizar funções e obter valores de mínimos e máximos para determinados problemas além de apresentarmos dois exemplos práticos resolvidos passo a passo.
Entendendo o que é um problema de otimização
Em suma, um problema de otimização é um tipo específico de problema em física, matemática e/ou engenharias. Decerto, esses problemas aparecem no contexto em que deseja-se obter alguns valores específicos associados a determinados processos.
Então, uma vez que maior parte dos processos físicos são modelados por funções podemos então nos perguntar quais os valores máximos e/ou mínimos que essa função pode assumir. Consequentemente, isso nos dará informações valiosas sobre o processo que estamos analisando.
Desse modo, podemos dizer que um problema de otimização consiste num problema em que estamos interessados em obter as informações ótimas do nosso modelo, as quais podem ser valores máximos ou mínimos. Com efeito, pense que um certo empresário dispõe de uma função que determina seu lucro em termos da quantidade x de produtos vendidas. Nesse sentido, é interessante que ele conheça quais são as quantidades de produtos que farão seu lucro ser mínimo (e logo deve evitar tal produção) e lucro máximo (preferindo sua produção).
Ademais, esses processos podem ainda ser empregados para que consigamos construir certos objetos com características específicas de modo a termos uma máxima área superficial ou máximo volume. Com efeito, essas características obtidas podem refletir em custos de produção menores e afins.
A teoria para Otimização no cálculo 1
Então, uma vez que apresentamos as noções básicas sobre o que são efetivamente os processos e problemas de otimização é interessante perpassamos um pouco sobre a teoria que circunda esses problemas dentro do escopo do cálculo 1. Portanto, nessa seção vamos te apresentar alguns dos elementos principais que vão ser o essencial para que você Gurunauta consiga arrebentar qualquer problema de otimização.
Ademais, é importante que façamos uma ressalva aqui: estamos nos limitando ao escopo do cálculo 1. Com efeito, dentro do cálculo 1 nossas funções estão restritas as noções de funções de apenas uma única variável e isso é um fator importante e decisivo nos desenvolvimentos que faremos a seguir. Decerto, como nos limitamos apenas uma única variável precisamos nos preocupar apenas com derivadas totais e qualquer desenvolvimento será feito apenas com derivadas ordinárias.
Com efeito, é importante que você tenha em mente que podemos estender as noções que apresentaremos aqui para funções que dependem de vários parâmetros (funções de várias variáveis). Entretanto, nossos modelos aqui estudados terão apenas um único parâmetro independente.
Pontos críticos
Então, de início a primeira noção importante que devemos nos ater é a noção de pontos críticos. Com efeito, os pontos críticos são pontos fundamentais associados a problemas de otimização e, por vezes, eles serão o nosso grande interesse de estudo. Dito isso, consideremos então uma função f(x) definida sobre os reais e dizemos que um ponto x=q é um ponto crítico da função f(x) se esse ponto satisfazer a seguinte condição.
Ou seja, os pontos críticos de uma função são os pontos onde a derivada da função se anula. Com efeito, esses pontos críticos são pontos que são ditos candidatos a máximos e mínimos, assim, podemos afirmar que todo ponto de máximo e mínimo é um ponto crítico. Entretanto, a recíproca dessa afirmação é falsa uma vez que temos o caso em que um ponto crítico pode ser um ponto de Sela, porém, esses pontos não são de interesse no contexto de problemas de otimização.
Teste da derivada segunda
Agora, vamos evocar o poderoso teste da derivada segunda. Com efeito, nós comentamos que os pontos críticos são candidatos a máximo e/ou mínimos, entretanto, não falamos como podemos esclarecer e definir se cada ponto x=q é máximo ou mínimo. Decerto, há um importante resultado, chamado de teste da derivada segunda, que classifica esses pontos. Assim, podemos classificar um ponto crítico x=q da seguinte modo.
Logo, se inspecionarmos o sinal da derivada segunda da função desejada teremos em mente a classificação do ponto crítico em um ponto de máximo e/ou mínimo. Ademais, note que não comentamos o caso em que a derivada segunda se anula, em verdade, esse caso corresponde ao ponto x=q ser classificado como ponto de sela o que não é interessante no contexto de otimização uma vez que esse ponto não nos dá informações úteis sobre nossa função.
Então, tendo em mãos o arcabouço teórico comentado vamos ver na prática dois exemplos interessantes dentro do cenário da otimização.
Exemplo 1 – Otimização para Prejuízo mínimo
Então, consideremos um problema onde um dado empresário conseguiu, através de dados reais formular a função f(x) = x2-2x+10 que especifica o lucro na venda de um determinado produto com relação a quantidade de produtos x vendidas. Decerto, o gráfico abaixo especifica essa função.
Nosso interesse aqui será determinar a quantidade de produtos, aproximada, que faz com que o lucro seja mínimo. Com efeito, veja que a derivada dessa função é f'(x) = 2x-2. Logo, o ponto crítico x=q é tal que 2q-2=0 => q =1. Então, em q =1 temos o ponto crítico da função, ademais, veja que esse ponto será o ponto de mínimo, com efeito, veja que a derivada segunda é f”(x) = 2 >0 para todo valor de x. Então, de fato x=q=1 é um ponto de mínimo conforme teste da derivada segunda. Logo, para x=q=1 temos o lucro mínimo que vale f(x=1) = 1-2+10 = 9.
Exemplo 2 – Otimização para área máxima
Agora, vamos a um problema um pouco mais complexo. Com efeito, vamos determinar a área máximo possível de se ter em um retângulo desde que o seu perímetro P seja constante e igual a 100. Com efeito, na Figura 2 a seguir temos o esquema da figura.
Então, veja que as informações do problema nos dão que o perímetro P e a área f são dadas por:
Ademais, note que o perímetro P estabelece um vínculo sobre as variáveis x e y, desse modo, podemos escrever que f(x,y) é dada por
Agora, com a função f(x) que é a função da área escrita apenas em termos de uma única variável podemos nos valer do arcabouço do cálculo 1. Com efeito, veja que o ponto crítico x=q será tal que
Com o ponto q=25 determinado veja que a derivada segunda dessa função é f”(x) = -2 que é menor que zero para todo x real e logo q=25 é um ponto de máximo. Então, o ponto q =25 maximiza a função de f(x), ademais, como temos do perímetro P que x+y=50 segue que y = 25 uma vez que x =25. Consequentemente, temos que o retângulo que cumpre as condições mencionadas do problema é na verdade o quadrado de lado x=q=25.
Referências
- STEWART, James. Cálculo – Volume 1. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012.
- ANTON, Howard. Cálculo – Volume 1. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013.
- GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Cálculo – Um novo horizonte. 5. ed. São Paulo: LTC, 2001.
- KHAN ACADEMY. Disponível em: <https://pt.khanacademy.org/ ↗>. Acesso em: 28 ago. 2023.
- BRILLIANT. Disponível em: <https://brilliant.org/ ↗>. Acesso em: 28 ago. 2023.
- MATHWAY. Disponível em: <https://www.mathway.com/ ↗>. Acesso em: 28 ago. 2023.
