Os planos inclinados são um dos temas que provavelmente coloca um grande medo nos estudantes no início dos seus estudos em física. Decerto, no início da física somos confrontados com os assuntos da cinemática e dinâmica os quais compõem a primeira parte de fundamentos da chamada mecânica que é o início do desenvolvimento da física. Em suma, dentro da mecânica há vários sistemas físicos marcantes que são muito estudados posteriormente como o oscilador harmônico, o pêndulo e o plano inclinado. Além disso, esses sistemas são corriqueiros em provas tanto para vestibulares quanto em cursos de física básica 1.
Nesse sentido, nós da MeuGuru decidimos trazer esse tutorial para você caro gurunauta. Com efeito, nesse texto tratamos sobre os planos inclinados. Assim, buscaremos aqui, nesse texto, trazer a você um pouco da física desse sistema que na verdade é essencialmente simples. Ademais, com intuito de ilustrar o mesmo apresentaremos um problema interessante envolvendo o plano inclinado sendo esse deles compreendendo tanto assuntos da dinâmica quanto da conservação/dissipação de energia em planos inclinados.
Entendendo mais sobre os planos inclinados
Então, de início é importante que você esteja familiarizado com esses sistemas para que possamos continuar de forma efetiva. Com efeito, os planos inclinados são um tema essencialmente relevante tanto que já o trouxemos aqui em nosso blog basta você clicar aqui. Todavia, vamos buscar revisitar esse texto trazendo para você um conteúdo atualizado e com a adição de problemas resolvidos.
Nesse sentido, vamos começar a definir o que são os planos inclinados. Com efeito, esses sistemas físicos correspondem a sistemas onde a superfície de referência está deslocada sobre um determinado ângulo, por exemplo um ângulo phi. Assim, busca-se entender como ocorre os processos associados ao movimento de corpos que estejam ligados a esse objeto e/ou sobre o mesmo. Em suma, um esquema para o plano inclinado é apresentado a seguir.
Descrição de forças no plano inclinado
A figura anterior mostra um plano inclinado. Entretanto, vamos agora começar a fazer uma descrição mais apurada do mesmo. Assim, iremos estudar agora as forças no plano inclinado. Com efeito, iniciamos o processo fazendo a decomposição das forças de modo a termos a seguinte figura.
Então, de posse disso, podemos estabelecer relações que estão associadas a um movimento de um corpo sob um plano inclinado. Decerto, esse tipo de movimento é muito estudado e sempre está sendo cobrado em diversas provas e vestibulares. Assim, segue que para fazermos a correta análise física desse problema basta que nós sejamos capazes de relacionar as componentes das forças que aparecem no plano inclinado. Nesse sentido, segue que devemos então descrever o movimento de ambas as dimensões, isso mesmo, aqui o movimento é bidimensional uma vez que ao andar para frente o corpo diminui sua altura. Então, segue que as equações de movimento ficam definidas por:
- F_(resultante para o eixo x) = max = Px = mgsin(ϕ)
- F_(resultante para o eixo y) = may = Py – N = mgcos(ϕ) – N,
onde N é a componente da força normal e os termos “a” são as acelerações nos eixos especificados pelos índices. Com efeito, nesse texto aqui você pode ver uma versão das equações em .tex.
Inclusão de complicações: Como adicionar atrito em planos inclinados
Decerto, além da complicação de estarmos trabalhando com uma superfície que não é plana podemos ainda ter outras complicações adicionais. Em suma, alguma dessas podem ser, por exemplo, a inclusão de atrito. Com efeito, o atrito corresponde a uma força que vem da própria interação entre a superfície, no caso o plano inclinado, e o corpo que está acima dele. Ademais, o atrito tem relação com a rugosidade da superfície e ele age sobre o movimento de modo a impor-se contra seu sentido.
Nesse sentido, segue que que a introdução de uma força de atrito F que vem da rugosidade do plano emerge no sentido do eixo x contra o movimento o corpo. Dessa forma, as equações anteriores devem se modificar e logo obtemos uma nova descrição que é feita da seguinte forma.
- F_(resultante para o eixo x) = max = Px – F = mgsin(ϕ) – F
- F_(resultante para o eixo y) = may = Py – N = mgcos(ϕ) – N.
Ademais, a força de atrito F que introduzimos tem um tipo de expressão fechada para ela. Decerto, a força de atrito é calculada sempre como sendo F = μN. Então, veja que isso nos leva a escrever as seguintes expressões
- F_(resultante para o eixo x) = max = Px – F = mgsin(ϕ) – μN
- F_(resultante para o eixo y) = may = Py – N = mgcos(ϕ) – N.
De posse disso, podemos então partir para a prática e resolver um problema bem interessante.
Apresentação do problema em Planos inclinados
Com efeito, nosso primeiro problema consiste em determinarmos a relação entre dois ângulos fi e theta de dois planos inclinados distintos. Certamente, essa questão é bem interessante e podemos desenvolver ela por completo.
(Enunciado) Considere dois planos inclinados tendo ângulos fi e theta de inclinação respectivamente sendo esses distintos. Ademais, a superfície do plano de ângulo theta possui atrito com coeficiente de atrito μ como indicado na figura a seguir. Então, de posse disso determine uma relação entre os ângulos dos planos inclinados sabendo quem um corpo inicia o movimento de deslizamento no primeiro plano inclinado e vai até o outro até chegar na posição de equilíbrio.
Resolução do problema: Análise da dinâmica
Esse problema, apesar de complicado não é tão assustador quando há um guru ou mesmo um texto da MeuGuru para te ajudar. Dito isso vamos resolver ele. Para isso, note que temos dois movimentos a serem analisados o primeiro refere-se com relação ao primeiro plano, o qual é descrito pelas seguintes equações
- F_(resultante para o eixo x) = max = Px = mgsin(ϕ)
- F_(resultante para o eixo y) = may = Py – N = mgcos(ϕ) – N.
Ademais, há um segundo movimento que se inicia no segundo plano inclinado sendo esse dado por:
- F_(resultante para o eixo x) = ma’x = Px – F = mgsin(θ) – μN‘
- F_(resultante para o eixo y) = ma’y = N’ – Py = N’ – mgcos(θ).
em que estamos analisando o movimento de subida e por isso em y inverte-se a ordem das forças. Agora, note que é dito que o corpo chegou na posição de equilíbrio, ou seja em uma dada altura, digamos H o corpo não tem forças agindo sobre ele. Assim, segue que em cada eixo a força resultante é nula e logo temos que
- ma’x = mgsin(θ) – μN‘ = 0 => μN‘ = mgsin(θ),
- ma’y = N’ – mgcos(θ) = 0 => N’ = mgcos(θ).
Perceba então que podemos dividir as expressões acima de modo a obter uma expressão exata para o coeficiente de atrito em termos do ângulo θ. Com efeito, dividindo obteremos que
- μ = Tan(θ).
Entretanto, não relacionamos AINDA as quantidades com o primeiro plano inclinado. Decerto, faremos isso na seção seguinte.
Problema de Energia em planos inclinados
Agora, vamos avaliar o que acontece com a energia do sistema. Com efeito, o corpo ao mover-se sob o plano inclinado percorre uma distância l que é associada a hipotenusa do plano inclinado. Ademais, tendo em vista que ele iniciou seu movimento de uma altura h segue que h = lsin(ϕ). Assim, a energia total do sistema corresponde a energia potencial do corpo nessa altura e essa é então:
- E = mgh = mglsin(ϕ).
Por outro lado, sabemos que o corpo subiu até uma determinada altura H’ que é associada a um deslocamento l’ da hipotenusa do triângulo de ângulo θ. Assim, segue que a energia do bloco nesse ponto corresponde a
- Eb = mgH’ = mgl’sin(θ).
Todavia, Eb < E uma vez que nosso problema possui atrito. Com efeito, o atrito faz com que o corpo perca energia e isso significa que há uma energia perdida a qual corresponde ao trabalho da força de atrito que é
- W = –μN‘ l’ = -mgsin(θ)l’.
Então, de posse disso veja que podemos então computar a validade da conservação da energia nesse problema admitindo a força de atrito de modo a termos o seguinte:
- |E| = |Eb| + |W| => mglsin(ϕ) = mgl’sin(θ) +mgsin(θ)l’ ==> lsin(ϕ) = 2l’sin(θ).
Assim, obtivemos a relação associada entre os ângulos conforme pedido.
Referências
GUALTER, J.; NEWTON, N.; HELOU, E. Tópicos de Física. Editora Saraiva, 2015.RAMALHO, F.; NICOLAU, G.; TOLEDO, P. A. Física – Os Fundamentos da Física. Editora Moderna, 2016.NUSSENZVEIG, H. M. Física Clássica. Editora Edgard Blücher, 2010.MÁXIMO, A.; ALVARENGA, B. Física – Volume Único. Editora Scipione, 2018.CALLAI, H.; EDUARDO, M.; JOSÉ, O. Tópicos de Física 1. Editora Ática, 2013.HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. Editora LTC, 2014.HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Os Fundamentos da Física. Editora Bookman, 2016.Khan Academy. Disponível em: https://www.khanacademy.org/. Acesso em: 10 nov. 2023.Só Física. Disponível em: https://www.sofisica.com.br/. Acesso em: 10 nov. 2023.Física Interativa. Disponível em: https://fisicainterativa.com/. Acesso em: 10 nov. 2023.Mundo da Física. Disponível em: https://www.mundodafisica.com.br/. Acesso em: 10 nov. 2023.Física Total. Disponível em: https://www.fisicatotal.com.br/. Acesso em: 10 nov. 2023.
