Neste blog o leitor pode encontrar vários textos sobre alguns tipos especiais de sequências de números, como é o caso da famosa Sequência de Fibonacci. Esse texto vai tratar das progressões aritméticas, um tipo especial de sequência que, além de serem muito comumente aplicadas, possuem muitas propriedades que podem ser exploradas. Vamos entender quando uma sequência é uma progressão aritmética, como calcular seus termos e muito mais.
Definição
Primeiro, vamos dar uma definição recursiva.
Definição. Dizemos que uma sequência (Xn) é uma progressão aritmética quando Xn+1 = Xn + r, com r sendo um número real, para todo n natural.
Assim essa definição nos diz que uma progressão aritmética não é nada mais, nada menos, que uma sequência em que o próximo termo é sempre igual ao anterior mais um número real, que pode ser negativo.
O número que somamos a cada passo da progressão é chamado de razão. O primeiro termo da sequência, X1 é chamado de termo inicial. Também, é comum abreviarmos a forma que nos referimos a sequência chamando de P.A.
Veja por exemplo o conjunto dos números naturais pode ser visto como uma progressão aritmética: 1, 2, 3, …
Essa progressão tem razão 1, pois cada termo é o anterior mais 1, e o termo inicial também é 1.
Outro exemplo: 3, 7, 11, 15, 19, …
Essa progressão possui termo inicial igual a 3 e razão igual a 4.
Como comentado, a razão pode ser negativa. Tome o seguinte exemplo: 90, 40, -10, -60, …
Nesse caso a progressão possui termo inicial igual a 90 e razão igual a -50.
Termo geral de uma progressão aritmética.
Agora que já conseguimos identificar esse tipo de sequência é fácil mostrar que, conhecendo a razão e o termo inicial podemos calcular qualquer termo da sequência através da seguinte fórmula.
Xn = X1 + (n-1)r
Vamos demonstrar essa fórmula através de indução em n.
Caso você ainda não conheça a demonstração por indução fica atento que em breve terá texto no blog sobre.
Primeiro, fazendo o base: n=1.
De fato X1 = X1 + 0 = X1+ (1-1)r.
Passo: agora suponha válido para n, logo
Xn = X1 + (n-1)r
Como, pela definição, Xn+1 = Xn + r, então
Xn+1 = Xn + r = X1 + (n-1)r + r = X1 + (n-1+1)r
Xn+1 = X1 + ((n+1)-1)r, como queríamos demonstrar.
Algumas observações.
De acordo com o valor numérico da razão é comum classificarmos as progressões aritméticas da seguinte forma:
Crescente, se a razão for maior que zero.
Decrescente, se a razão for menor que zero.
Constante, se a razão for igual a zero.
Vamos ver também algumas propriedades que podemos aferir dá definição.
Propriedade 1. A razão de uma progressão aritmética é igual a diferença de dois termos consecutivos.
De fato, seja Xn e Xn+1 termos consecutivos e pela definição Xn+1 = Xn + r. Assim, Xn+1 – Xn = Xn + r – Xn = r.
Propriedade 2. Sejam três termos consecutivos numa P.A.. O termo do meio é igual a média aritmética dos outros dois termos.
De fato, sejam Xn, Xn+1, Xn+2. Veja que Xn+2 = Xn + 2r. Portanto, fazendo a média de Xn e Xn+2:
(Xn + Xn+2)/2 = (Xn + Xn + 2r)/2 = (2Xn + 2r)/2 = Xn + r = Xn+1, como queríamos demonstrar.
Acompanhe os próximos textos no blog dessa série sobre PAs para aprender mais propriedades delas, inclusive como somar um número finito de termos, e ver exercícios e exemplos resolvidos.
