As regras de derivação são um dos pontos principais dentro da disciplina de cálculo diferencial e integral 1. De fato, essas regras constituem o arsenal básico da teoria que permeia o assunto das derivadas. Com efeito, o conjunto das regras de derivadas são o conjunto de expressões que nos permitem computar analiticamente as derivadas de quaisquer funções diferenciáveis.
Nesse sentido, nós da MeuGuru buscamos com esse artigo te elencar as principais regras de derivações existentes e ainda te fornecer um guia rápido de como você pode utilizá-las de forma eficiente com intuito de maximizar sua velocidade de solução e a sua taxa de acertos nesses cálculos. Então, vem conosco que hoje nós vamos perpassar por todo o universo que circunda as famosas regras de derivações.
A noção de derivada
A noção que permeia as derivadas é associada a como uma determinada função é capaz de variar com respeito a um determinado parâmetro. Decerto, essa noção emerge nos estudos iniciais de Newton e de Leibniz que nos guia a obtenção de como obter a forma com que uma determinada curva de posição de um móvel varia a medida que o tempo evolui. Certamente, essa é uma das noções primordiais na matemática e a partir dela é possível obter diversos resultados interessantes e de imenso valor para a ciência.
Com efeito, a derivada de uma função f(x) é o limite do incremento da função por um fator h não nulo mas suficientemente pequeno. Assim, a derivada pode ser é.
Ademais, tendo em vista essa expressão geral é possível obter diversas relações que são as usuais regras de derivações que conhecemos. Entretanto, nosso objetivo aqui não é fazer isso gurunauta vamos apenas te apresentar o essencial para seu uso em provas. Todavia, é enriquecedor para sua cultura ao menos saber um pouquinho de onde as coisas vieram.
Aplicações das derivadas
As derivadas ainda são muito associadas a diversas aplicações ao estudo de funções matemáticas e, por conseguinte, a modelos físicos que podem ser descritos por funções. Nesse sentido, a derivada se torna muito mais do que apenas uma nova operação que estamos conhecendo mas sim uma ferramenta robusta e sofisticada. Com efeito, ela permite o estudo de diversos fenômenos em particular como os mesmos podem variar conforme o parâmetro da função é modificado.
Assim, algumas das aplicações das derivadas nas ciências são as seguintes:
- Análise de velocidade e aceleração. Com efeito, a derivada de uma função de posição em relação ao tempo fornece a velocidade instantânea, enquanto a segunda derivada fornece a aceleração instantânea.
- Otimização. De fato, as derivadas são usadas para encontrar os máximos e mínimos de funções o que pode ser extremamente útil em problemas em que deseja-se obter soluções ótimas como problemas de recursos e decisões eficientes.
- Taxas de variação. Certamente, essa é a aplicação primordial das derivadas uma vez que elas representam taxas de variação instantânea.
- Desenho de gráficos. Com efeito, as informações obtidas com as derivadas ajudam a determinar os pontos críticos, como máximos, mínimos e pontos de inflexão, de uma função. Consequentemente, isso permite traçar gráficos precisos de funções matemáticas e analisar seu comportamento.
- Modelagem e previsão. Decerto, há vários modelos matemáticos que são descritos com uso das derivadas para descrever o comportamento de sistemas dinâmicos, como populações, crescimento de células e reações químicas.
- Engenharia e física. Nessas duas grandes áreas vemos as derivadas sendo usadas para descrever as taxas de variação de grandezas físicas, como velocidade, aceleração, taxa de transferência de calor, taxa de reação química, entre outros.
Regras de derivação gerais
As regras de derivação são o conjunto de regras que nos dizem como devemos operar e como podemos calcular derivadas sem cometer quaisquer pecados matemáticos. Com efeito, essas regras podem e são obtidas diretamente da expressão da definição da derivada. Em suma, elas são.
onde k é uma constante real, pense no k como sendo um número real qualquer. Então, de posse dessas regras elementares somos capazes de computar as derivadas de diversas funções. Entretanto, devemos aqui chamar a atenção para as derivadas de produtos de funções e quocientes de funções. Com efeito, essas derivadas não são meramente o produto das derivadas ou a divisão das derivadas.
Certamente, esses pontos devem ser detalhes que você tem que ter em mente ao longo de suas soluções de derivadas e afins. Decerto, elas irão evitar que você faça vários erros e deslizes.
Exemplos resolvidos passo a passo com regras de derivação
Então, com o intuito de elucidar bem as regras de derivação vamos te mostrar o passo a passo de como você pode derivar uma função nada trivial: exponencial de x dividido por 1 mais cosseno de x. Com efeito, há várias formas de prosseguir com essa diferenciação e aqui vamos escolher a forma que segue da regra do quociente. Com efeito, nós teremos que:
Assim, nós conseguimos obter a derivada final desejada. Entretanto, está na hora de você também por a mão na massa Gurunauta. Logo, tende obter a derivada dessa mesma função entretanto, queremos que você utilize outro método para isso, com efeito, o método do produto para isso basta ver que vc pode pensar na função como sendo e^x vezes 1/(1+cos(x)) e então aplicando a regra do produto. Logo, uma vez que você já tem o resultado acima como garantia poderá checar se seus desenvolvimentos estão corretos.
Regras de derivação: A regra da cadeia
Dentre as regras de derivação usuais que somos apresentados há uma regra essencialmente particular que é a regra da cadeia. Com efeito, essa regra é empregada, em geral, para o tratamento de funções compostas e ela é a seguinte regra.
De fato, essa regra é talvez uma das regras mais delicadas de se trabalhar pois temos duas funções e elas ainda estão se compondo de modo a formar apenas uma só. Entretanto, ter o domínio dessa regra pode ser algo que irá te ajudar muito. Como exemplo para a aplicação da regra da cadeia tente resolver a mesma questão anterior. Todavia, agora use a regra do produto na parte que fica 1/(1+cos(x)) uma vez que ela é igual a (1+cos(x))^{-1} e aqui você poderá aplicar a regra da cadeia.
Referências
- Aqui estão as referências dos livros sobre cálculo no formato ABNT:
- STEWART, James. Cálculo – Volume 1. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
- STEWART, James. Cálculo – Volume 2. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
- STEWART, James. Cálculo – Volume 3. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
- ANTON, Howard; BIVENS, Irl. Cálculo – Um Curso Moderno e suas Aplicações. 10ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2013.
- GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
- FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Miriam Buss. Cálculo – A – Funções, limite, derivação e integração. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2011.
- FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Miriam Buss. Cálculo – B – Funções de várias variáveis, integrais múltiplas e séries. 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2011.
- APOSTOL, Tom M. Cálculo – Volume 1. São Paulo: LTC, 1983.
- APOSTOL, Tom M. Cálculo – Volume 2. São Paulo: LTC, 1983.
- LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994.
- Certifique-se de verificar a formatação específica exigida pela sua instituição ou orientador, pois as regras da ABNT podem variar.
