A equação da reta é uma das equações matemáticas mais simples e importantes quando se estar no desenvolvimento das bases matemáticas. Decerto, fenômenos lineares se associam com diversos problemas de ordem prática que conhecemos como mensuração de temperatura, cobrança de tarifas de taxi e operadoras dentre outros. Não apenas isso, mas a própria álgebra linear tem grande parte do seu escopo voltada ao entendimento de sistemas lineares os quais se associam a retas no caso bidimensional.
Nesse sentido, é evidente a grande relevância de problemas lineares em particular do estudo da reta em vários campos da matemática. Então, tendo isso em vista, nós da MeuGuru trouxemos para você esse tutorial simples, prático e direto sobre a famosa equação da reta e funções afins. Com efeito, esse é mais um artigo nosso da série de textos envolvendo elementos da matemática básica para que você, caro gurunauta, consiga melhorar ainda mais suas bases e fundamentos matemáticos.
Equação da reta
Então, vamos começar nosso texto explorando exatamente nosso objeto de estudo: problemas lineares. Com efeito, na matemática, em particular na geometria, temos diversas estruturas como parábolas, elípses, círculos, retas e afins as quais, seus gráficos são usualmente denominadas por curvas. Em particular, as retas são o tipo de curva mais simples e essas, quando em duas dimensões são do seguinte tipo
- y = ax + b
em que y=ax+b chama-se a equação da reta. Ademais, os parâmetros a e b são constantes, isto é, valores numéricos fixos para cada reta e o termo x é a coordenada do eixo das abscissa ou abcissa, ou simplesmente eixo x (convenhamos que assim é bem mais fácil de chamar não é gurunauta?).
Coeficientes da equação da reta
Além disso, os coeficientes a e b são muito importantes ao passo que ligam-se com aspectos geométricos da reta sendo:
- Termo a. Com efeito, esse termo que é o coeficiente angular que associa-se a inclinação da reta,
- Termo b. Com efeito, esse termo que é o coeficiente linear que associa-se com o ponto em que a reta corta o eixo y.
É interessante vermos essas noções graficamente como temos na figura a seguir, a qual ainda calculamos a inclinação da reta através da tangente do ângulo formada pela reta.
Não obstante, veja ainda que o valor da inclinação da reta a pode ainda revelar outro aspecto importante sobre a forma da reta desejada. Em suma, esse aspecto refere-se ao sinal do valor a o qual é tal que se a for maior que zero segue então que a reta orienta-se da esquerda para direita. Por outro lado, se o valor da inclinação da reta a for menor que zero segue então que a reta orienta-se da direita para esquerda. Então, com intuito de sermos mais ilustrativos a seguir apresentamos uma esquematização desses elementos.
Funções do primeiro grau
De igual forma que temos uma equação para reta é evidente que temos funções que podem se associar a elas. Consequentemente, o que temos é as chamadas funções de primeiro grau que são funções que possuem representação geométrica idêntica com a que mostramos anteriormente. Entretanto, elas são funções, ou seja, não apenas possuem sentido geométrico como podem, também, ter sentido aplicado em algum problema físico e, evidentemente, temos um conjunto de valores que se associam-se a depender do domínio que estamos definindo. Por exemplo, tomemos a função f:X->R que é uma função do primeiro grau se tem a forma:
- f(x) = ax+b
A rigor, você deve pensar que as funções e equações do primeiro grau são a mesma coisa, todavia, é evidente que não são. Decerto, veja que para cada valor de x ou de y = f(x) dado temos uma equação do primeiro grau para resolver. Nesse sentido, podemos, por exemplo, determinar os pontos x tais que f(x) = 0 esses pontos são o que chamamos de raízes da função f e esses são:
- f(x) = 0 => ax+b = 0 => ax = -b = > x = -b/a
que é o exato ponto que tínhamos explicitado na Figura 1.
Um exemplo prático sobre a equação da reta e função afim
Por fim, vamos agora resolver um problema clássico que associa-se as funções do primeiro grau.
Uma empresa de táxi cobra uma taxa fixa de R$ 5,00 mais R$ 2,50 por quilômetro percorrido. Escreva uma função do primeiro grau que represente o custo total (C) de uma viagem de táxi em função da distância percorrida (d). Utilize essa função para calcular o custo total de uma viagem de 10 quilômetros.
- (a) Escreva a função do primeiro grau que representa o custo total (C) em função da distância percorrida (d) nesse serviço de táxi.
- (b) Qual é o custo total de uma viagem de táxi de 10 quilômetros nessa empresa?
De posse disso, vamos resolver esse problema. Perceba que a taxa fixa de 5 reais corresponde ao parâmetro linear da função enquanto que 2.5 é valor variável que se associa a distândia d percorrida, logo, uma função válida para descrever esse problema é a seguinte:
- C(d) = 2.5 d + 5
Agora, veja que como obtemos essa função segue que o item (a) do problema já fora resolvida, então, podemos seguir para a solução do item (b). Nesse sentido, veja que para resolvermos o item (b) precisamos calcular o custo total de uma viagem de táxi para quando tivemos 10quilômetros percorridos ,logo, veja que isso corresponde a termo d =10 na equação de custo. Consequentemente, temos que C(d=10) = 2.5 * 10 + 5 = 25 + 5 = 30 e logo segue que temos um custo fixo de 5 reais e um custo de 25 reais dado pela quilometragem e, portanto, um custo total de 30 reais.
Referências
- IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. Fundamentos da Matemática Elementar: Volume Único. São Paulo: Atual, 2019.
- GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JR., José Ruy. A Conquista da Matemática: Volume Único. São Paulo: FTD, 2018.
- SILVA, Andréa Aparecida Ferreira da. A importância do ensino da Matemática no ensino fundamental e médio. Revista Brasileira de Educação Matemática, São Paulo, v. 22, n. 42, p. 131-143, maio/ago. 2017.
- STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2009. 408 p.
