sen^5(x) e a sua Integral

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Leilivan Pimentel
setembro 20, 2023

Pois é, agora o blog da Meu Guru tem tutoriais para lhe ajudar nas matérias que você tem mais dificuldade. Entretanto, veremos artigos da física ao meio ambiente, lhe passaremos tudo o que você precisa saber para ser o top da faculdade ou ainda, o futuro guru, quem sabe hein? Mas, hoje, vou falar sobre a integral de sen^5(x) dx. Bora aprender e ficar por dentro de como funciona esse cálculo, pois te garanto que depois do post de hoje você não terá mais dificuldades!

Assim, vamos resolver uma integral, que na primeira vista parece simples (e na verdade é sim…)

Antes de tudo precisamos lembrar de algumas coisas:

Primeiramente, duas propriedades de potências. Assim, 1)Para simplificar a multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes. 2) E ao calcular a potência de uma potência, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

Assim, no nosso exemplo:

$a^5 = a^2*a^2*a= (a^2)^2*a$

Dessa maneira, podemos reescrever nossa integral assim:

$\int sen^5(x) dx = \int [sen^2(x)]^2*sen(x) dx$

Entretanto, por enquanto, vamos deixar dessa forma e vamos relembrar outro conceito, a identidade trigonométrica:

$sen^2(x) + cos^2(x) = 1$

$sen^2(x)= 1 - cos^2(x)$

Bom, sabendo disso, podemos voltar para a integral e substituir o sen^2(x) ficando assim:

$\int [sen^2(x)]^2*sen(x) dx = \int [1 - cos^2(x)]^2*sen(x) dx$

Dessa maneira, metade do problema foi resolvido… agora podemos aplicar a “SUBSTITUIÇÃO” u = cos(x) para resolver, não esquece, também temos que encontrar o du/dx.

$\int [1 - cos^2(x)]^2*sen(x) dx$

Então fazendo a substituição:

$u = cos(x)$

Derivando u em função de x (ou seja, du/dx) temos:

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (cos(x))$

E como é sabido, a derivada da função cos(x) = -sen(x) ficando :

$\frac{du}{dx} = -sen(x)$

Mais um “bizu”, o que nos interessa é o dx para podermos substituí-lo, dessa maneira, basta “isolar” o dx (lembra lá do Ensino Médio “O que tá dividindo passa multiplicando, o que tá multiplicando passa dividindo”), ou seja:

$du = -sen(x) dx$

$dx = \frac{du}{-senx}$

Assim temos:

$u = cos(x)$

$dx = \frac{du}{-senx}$

Agora sim, podemos substituir tudo na nossa integral:

$\int [1 - cos^2(x)]^2*sen(x) dx = \int [1-u^2]^2*sen(x)*\frac{du}{-sen(x)}$

Assim, simplificando a nossa garota temos:

$\int [1-u^2]^2*sen(x)*\frac{du}{-sen(x)} = - \int [1-u^2]^2 du$

Com efeito, estamos quase terminando e lhe garanto que você vai sentir-se mais tranquilo ao realizar um exercício como este. Afinal, lhe ensinamos como resolvê-lo passo a passo, não é mesmo?

Vamos aplicar a a regra da potenciação (ou o famoso chuveirinho) vamos relembrar a propriedade:

$(a-b)^2 = a^2 - 2*a*b+ b^2$

Assim, nossa função ficará linda e desta forma:

$[1-u^2]^2 = 1^2 -2*1*u^2 + u^4 =\\ 1-2u^2 +u^4$

Assim, nossa integral:

$- \int [1-u^2]^2 du = -\int (1-2u^2 +u^4)du$

Antes de partimos aos finalmente, repare que temos um sinal negativo do “lado de fora”, podemos deixá-lo para o final, ou para garantir que não vamos esquecer (e não dar chance para o azar de ter que ir falar com o professor “Mas eu errei só o sinal!”), vamos fazer essa operação agora (dica de ouro: não deixe sinal para depois, vai por mim, quase nunca se lembrará dele depois):

$-\int (1-2u^2 +u^4)\ = \int (-1 + 2u^2 -u^4) du$

Ótimo, agora só precisamos lembrar da teoria fundamental do cálculo (regra da soma) e “separar” nossa integral:

$\int (-1 + 2u^2 -u^4) du = -\int 1 du +2\int u^2 du - \int u^4 du$

Agora sim… só resolver :

$-\int 1 du = -u$

$+2\int u^2 du = \frac{2u^3}{3}$

$- \int u^4 du = -\frac{u^5}{5}$

Assim,

$\int sen^5(x) dx = -u +\frac{2u^3}{3} -\frac{u^5}{5} + C$

E para fechar com chave de ouro, lembrar de “re-substituir”, u = cos(x) então:

$\int sen^5(x) dx = - cos(x) +\frac{2cos^3(x)}{3} -\frac{cos^5(x)}{5} + C$

Viu, nada é tão simples quanto parece e muito menos tão difícil quanto pintam! Portanto, é só prestar atenção e pensar um pouquinho. Ficou com dúvidas? Comenta aí e chama lá na MeuGuru. Deixei nas referências, um curso gratuito de Cálculo da MIT.

Referências:

https://ocw.mit.edu/courses/18-01sc-single-variable-calculus-fall-2010/

Veja Mais sobre a Integral de sen^5(x) dx:

Descubra mais sobre as nossas curiosidades, pois, lhe garanto que você além de ficar mais antenado com o que acontece no mundo, também terá a possibilidade de tirar notas mais altas com as nossas dicas diárias.

Bora aprender um pouco mais? Pois quem se limita não saio do lugar,não é?

Abaixo, lhe convido a conhecer esses artigos, pois vão lhe abrir mais a mente para o que está por vir!

Te espero no próximo post, pois garanto que você vai curtir o nosso próximo tutorial =)

Portanto, até mais!

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