Sistemas de controle de primeira ordem sem zeros podem ser descritos pela função de transferência mostrada na figura 1(a).
Caso a entrada seja um degrau unitário, em que R(s) = 1/s, a transformada de Laplace da resposta ao degrau é C(s), em que
Aplicando a transformada inversa, a resposta ao degrau é dada por
c(t)=cf(t)+cn(t)=1-e-at (1)
Em que o polo da entrada na origem gerou a resposta forçada cf(t) = 1, e o polo do sistema em -a, como mostrado na figura 1(b), gerou a resposta natural cn(t) =-e-at .
A Eq. (1) é representada graficamente na Figura 2.
Constante de tempo de sistemas de controle de primeira ordem
Chamamos 1/a de constante de tempo da resposta, assim constante de tempo pode ser descrita como o tempo para e–at decair para 37% de seu valor inicial.
Sendo que a constante de tempo é o tempo necessário para a resposta ao degrau atingir 63% de seu valor final (ver a Figura 2).
O inverso da constante de tempo tem a unidade (1/segundos), ou frequência. Assim, podemos chamar o parâmetro a de frequência exponencial. Uma vez que a derivada de e–at é –a quando t = 0, a é a taxa inicial de variação da exponencial em t = 0.
Assim, a constante de tempo pode ser considerada uma especificação da resposta transitória para um sistema de primeira ordem, considerando está relacionada à velocidade com a qual o sistema responde a uma entrada em degrau.
A constante de tempo também pode ser calculada a partir do diagrama do polo (ver a Figura 1(b)).
Uma vez que o polo da função de transferência está em –a, podemos dizer que o polo está localizado no inverso da constante de tempo.
Quanto mais afastado o polo estiver do eixo imaginário, mais rápida será a resposta transitória.
