O que é o teorema de Bayes?

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José Eduardo
dezembro 26, 2022

Um importante teorema da estatística é o teorema de Bayes. Tanto é que muitos dizem que o teorema Bayesiano está para a estatística assim como o teorema Pitágoras está para a geometria. Neste artigo, entenderemos o conceito desse importante teorema e o motivo da sua importância.

Teorema de Bayes: O que é?

Até hoje, não sabemos com exatidão sobre quem foi o primeiro autor do teorema. Sabe-se que o Pastor e matemático Tomas Bayes foi um dos primeiros a abordar essa discussão. Além disso, o filósofo e historiador Britânico Richard Price foi quem reconheceu a importância do trabalho de Bayes, corrigindo-o e divulgando-o. Outros matemáticos também chegaram a esses resultados de forma independente, como o matemático francês Laplace.

Esse teorema descreve a probabilidade a posteriori de um evento, acerca da probabilidade a priori de um evento correlacionado. Ou seja, a probabilidade de um evento A acontecer depende da probabilidade de um evento B acontecer, dado que B é correlacionado com A. Então, se sabemos o quão provável é B, podemos saber o quão provável A será.

A definição formal do teorema de Bayes é a seguinte:

Onde P(A|B) é a probabilidade de A dado que B ocorreu, P(B|A) é a probabilidade de B ocorrer dado que A ocorreu, P(A) é a probabilidade de A ocorrer e P(B) é a probabilidade de B ocorrer. Além disso, P(B) não pode ser igual a zero, pois está no denominador.

Teorema de Bayes: Exemplo na medicina

O teorema de Bayes é utilizado em diversas situações, como por exemplo em inteligência artificial. Caso lhe interessar, é possível implementar o conceito de probabilidade bayesiana em linguagens de programação para IA. Outra área em que o teorema é bastante utilizado é na área médica. Veremos um exemplo de aplicação do teorema de Bayes na medicina.

Falsos positivos e falsos negativos

Supondo que exista um teste de uma doença, por exemplo. O resultado desse teste pode ser positivo para a doença, ou negativo para a doença. Supondo que o teste tenha sensibilidade de 95%, ou seja, em 95% dos casos que o resultado do teste deu positivo para a doença, o indivíduo realmente estava com a doença. Além disso, supomos que o teste tenha 98% de especificidade, ou seja, em 98% dos casos que o teste dá negativo para a doença, o indivíduo realmente não tinha a doença. Ainda, a probabilidade de se ter essa doença é de 2%, ou seja, 2 a cada 100 pessoas aleatórias têm essa doença, em média.

Esse teste aparenta ser bastante preciso. Mas se o indivíduo faz um teste e o teste dá positivo, qual a probabilidade de realmente se ter a doença? Talvez ela não seja tão baixa assim, e por isso veremos.

Usando o teorema de Bayes, podemos calcular a probabilidade de se ter a doença dado que o teste deu positivo, ou seja, queremos calcular P(D|+). Sabemos a probabilidade do teste dar positivo dado que o indivíduo têm a doença, ou seja, a sensibilidade, que é P(+|D) = 0,95. Também, sabemos a probabilidade de se ter a doença, que é P(D) = 0,02.

calculando a probabilidade do teste dar positivo, temos que essa probabilidade é a soma entre a probabilidade do teste dar positivo dado que a pessoa tem a doença e a probabilidade do teste dar positivo dado que a pessoa não tem a doença, logo:

P(+) = P(+|D).P(+) + P(+|ND).P(-), ou seja

P(+) = 0,95.0,02 + (1-0,98).0,98 = 0,0386.

Utilizando a fórmula de Bayes, obtemos

P(D|+) = (P(+|D).P(D) )/ P(+) ,substituindo as variáveis, temos

P(D|+) = (0,95.0,02)/(0,0386) = 0,4922.

Ou seja, temos quase 50% de probabilidade de que o indivíduo realmente esteja doente dado que o resultado tenha dado positivo. Devido a baixa probabilidade da doença ocorrer, não podemos confiar tanto assim no resultado positivo do teste, portanto, é necessário sempre refazer o teste para confirmação.

Conclusão

Em suma, conhecemos sobre o teorema de Bayes e vimos como testes aparentemente precisos podem apresentar resultados equivocados. Esse teorema é bastante utilizado em diversas áreas, além da medicina, e por isso é muito importante ser bem compreendido. Até a próxima!