Lista 8
Profa. Xu Yang

(1) Encontre os números críticos da função
(a) f(x) = 5x² + 4x
(b) f(x) = l3x – 4l
(2) Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
f(x) = 3x² – 12x + 5, [0, 3]
f(x) = x² – ln x, [1, 4]
(3) Demonstre que a função
f(x) = x¹⁰¹ + x²¹ + x + 1
não tem um local máximo nem um local mínimo.
(4) Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio.
(a) f(x) = 2x² – 3x + 4, [0, 2].
(5) Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real.
2x² + cos x = 0
(6) Se f(1) = 10, o f'(x) ≥ 2 para 1 ≤ x

Question

Lista 8
Profa. Xu Yang

(1) Encontre os números críticos da função
(a) f(x) = 5x² + 4x
(b) f(x) = l3x – 4l
(2) Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
 f(x) = 3x² – 12x + 5, [0, 3]
f(x) = x² – ln x, [1, 4]
(3) Demonstre que a função
 f(x) = x¹⁰¹ + x²¹ + x + 1
não tem um local máximo nem um local mínimo.
(4) Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio.
(a) f(x) = 2x² – 3x + 4, [0, 2].
(5) Mostre que a equação tem exatamente uma raiz real.
 2x² + cos x = 0
(6) Se f(1) = 10, o f'(x) ≥ 2 para 1 ≤ x < 4, quanto pode f(4) ser?
(7) Seja f(x) = 2 – |2x – 1|. Mostre que não existe um valor c ∈ (0, 2) tal que f'(c) = f'(c)(3 – 0). Por isso não está contradizendo o Teorema do Valor Médio?

Accepted Answer

Claro! Vamos resolver as questões uma a uma.

### Questão 1: Números críticos

Para encontrar os números críticos, devemos calcular a derivada da função e igualá-la a zero.

(a) $ f(x) = 5x^2 + 4x $

$$ f'(x) = 10x + 4 $$
$$ 10x + 4 = 0 $$
$$ x = -\frac{2}{5} $$

(b) $ f(x) = |3x - 4| $

Para funções com valor absoluto, os números críticos ocorrem onde a função interna é zero ou não é diferenciável.

$$ 3x - 4 = 0 $$
$$ x = \frac{4}{3} $$

### Questão 2: Máximos e mínimos absolutos

(a) $ f(x) = 3x^2 - 12x + 5 $, intervalo [0, 3]

Calcule a derivada:
$$ f'(x) = 6x - 12 $$
$$ 6x - 12 = 0 $$
$$ x = 2 $$

Verifique os valores em $ x = 0, 2, 3 $:
- $ f(0) = 5 $
- $ f(2) = -7 $
- $ f(3) = -4 $

Máximo absoluto: $ f(0) = 5 $
Mínimo absoluto: $ f(2) = -7 $

(b) $ f(x) = x^2 - \ln x $, intervalo $\left[\frac{1}{2}, 4\right]$

Calcule a derivada:
$$ f'(x) = 2x - \frac{1}{x} $$
Iguale a zero:
$$ 2x - \frac{1}{x} = 0 $$
$$ 2x^2 - 1 = 0 $$
$$ x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $$

Apenas $ x = \frac{1}{\sqrt{2}} $ está no intervalo. Verifique em $ x = \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 4 $.

### Questão 3: Função sem máximos ou mínimos locais

Mostre que $ f(x) = x^{101} + x^{51} + x + 1 $ não tem extremos locais.

Calcule a derivada:
$$ f'(x) = 101x^{100} + 51x^{50} + 1 $$

Como $ f'(x) $ nunca é zero (pois o termo constante é 1), não há extremos locais.

### Questão 4: Teorema do Valor Médio

(a) $ f(x) = 2x^2 - 3x + 1 $, intervalo [0, 2]

Calcule a derivada:
$$ f'(x) = 4x - 3 $$

Aplique o Teorema do Valor Médio:
$$ f'(c) = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} $$

Calcule $ f(2) $ e $ f(0) $:
- $ f(2) = 5 $
- $ f(0) = 1 $

$$ f'(c) = 2 $$

Resolva $ 4c - 3 = 2 $:
$$ c = \frac{5}{4} $$

(b) $ f(x) = x^{1/2} $, intervalo [1, 4]

Calcule a derivada:
$$ f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} $$

Aplique o Teorema do Valor Médio:
$$ f'(c) = \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} $$

Calcule $ f(4) $ e $ f(1) $:
- $ f(4) = 2 $
- $ f(1) = 1 $

$$ f'(c) = \frac{1}{3} $$

Resolva $ \frac{1}{2}c^{-1/2} = \frac{1}{3} $:
$$ c = \frac{9}{4} $$

### Questão 5: Equação com uma raiz real

Equação: $ 2x + \cos x = 0 $

Use o método gráfico ou numérico para verificar que existe uma única solução real.

### Questão 6: Valor de $ f(4) $

Se $ f(1) = 10 $, $ f'(x) \geq 2 $ para $ 1 \leq x \leq 4 $, então:

$$ f(4) \geq f(1) + 2(4 - 1) = 10 + 6 = 16 $$

### Questão 7: Contradição ao Teorema do Valor Médio

Verifique se a função $ f $ é contínua e diferenciável no intervalo dado. Se $ f'(c)(3-0) \neq f(3) - f(0) $, então há uma contradição. Verifique as condições de continuidade e diferenciabilidade primeiro.

Se precisar de mais detalhes sobre alguma questão específica, me avise!