24. O apótema de um hexágono regular mede 6√3 cm. Nessas condições, determine:

a) a medida do seu lado;
b) sua área.

Question

24. O apótema de um hexágono regular mede 6√3 cm. Nessas condições, determine:

a) a medida do seu lado;
b) sua área.

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos usar as propriedades do hexágono regular.

### a) Medida do lado

O apótema ($a$) de um hexágono regular está relacionado ao lado ($l$) pela fórmula:
$$ a = \frac{l \sqrt{3}}{2} $$

Dado que $a = 6\sqrt{3}$, podemos substituir na fórmula:

$$ 6\sqrt{3} = \frac{l \sqrt{3}}{2} $$

Multiplicando ambos os lados por 2:

$$ 12\sqrt{3} = l \sqrt{3} $$

Dividindo ambos os lados por $\sqrt{3}$:

$$ l = 12 \, \text{cm} $$

### b) Área do hexágono

A área ($A$) de um hexágono regular é dada por:

$$ A = \frac{3l^2 \sqrt{3}}{2} $$

Substituindo $l = 12$:

$$ A = \frac{3 \times 12^2 \sqrt{3}}{2} $$

$$ A = \frac{3 \times 144 \sqrt{3}}{2} $$

$$ A = \frac{432 \sqrt{3}}{2} $$

$$ A = 216 \sqrt{3} \, \text{cm}^2 $$

Portanto, a medida do lado é 12 cm e a área é $216 \sqrt{3} \, \text{cm}^2$.