7. Calcule a distância entre os pontos dados:
a) P(3, -3) e Q(-3, 3)
b) C(-4, 0) e D(0, 3)
8. A distância do ponto A(1, 0) ao ponto B(2, 0) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa α.
9. Um ponto P pertence ao eixo das abscissas e é equidistante dos pontos A(1, 2) e B(1, 4). Quais são as coordenadas do ponto P?
10. A abscissa de um ponto P é -6 e sua distância ao ponto Q(0, 1) é √74. Determine a ordenada do ponto.

Question

Accepted Answer

Vamos resolver as questões uma a uma:

**7. Calcule a distância entre os pontos dados:**

A fórmula para calcular a distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ no plano cartesiano é:
$$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

a) $ P(3, -3) $ e $ Q(-3, 3) $:

$$ d = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (3 - (-3))^2} $$
$$ d = \sqrt{(-6)^2 + (6)^2} $$
$$ d = \sqrt{36 + 36} $$
$$ d = \sqrt{72} $$
$$ d = 6\sqrt{2} $$

b) $ C(-4, 0) $ e $ D(0, 3) $:

$$ d = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (3 - 0)^2} $$
$$ d = \sqrt{(4)^2 + (3)^2} $$
$$ d = \sqrt{16 + 9} $$
$$ d = \sqrt{25} $$
$$ d = 5 $$

**8. A distância do ponto $ A(a, 1) $ ao ponto $ B(0, 2) $ é igual a 3. Calcule o valor da abscissa $ a $.**

Usando a fórmula da distância:

$$ \sqrt{(0 - a)^2 + (2 - 1)^2} = 3 $$
$$ \sqrt{a^2 + 1} = 3 $$
$$ a^2 + 1 = 9 $$
$$ a^2 = 8 $$
$$ a = \pm \sqrt{8} $$
$$ a = \pm 2\sqrt{2} $$

**9. Um ponto $ P $ pertence ao eixo das abscissas e é equidistante dos pontos $ A(-1, 2) $ e $ B(1, 4) $. Quais são as coordenadas do ponto $ P $?**

Se $ P $ pertence ao eixo das abscissas, então suas coordenadas são $ (x, 0) $.

A distância de $ P $ a $ A(-1, 2) $ deve ser igual à distância de $ P $ a $ B(1, 4) $:

$$ \sqrt{(x + 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 4)^2} $$

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:

$$ (x + 1)^2 + 4 = (x - 1)^2 + 16 $$
$$ x^2 + 2x + 1 + 4 = x^2 - 2x + 1 + 16 $$
$$ x^2 + 2x + 5 = x^2 - 2x + 17 $$
$$ 2x + 5 = -2x + 17 $$
$$ 4x = 12 $$
$$ x = 3 $$

Portanto, as coordenadas de $ P $ são $ (3, 0) $.

**10. A abscissa de um ponto $ P $ é $ -6 $ e sua distância ao ponto $ Q(1, 3) $ é $ \sqrt{74} $. Determine a ordenada do ponto.**

Seja $ P(-6, y) $.

Usando a fórmula da distância:

$$ \sqrt{(1 - (-6))^2 + (3 - y)^2} = \sqrt{74} $$
$$ \sqrt{(1 + 6)^2 + (3 - y)^2} = \sqrt{74} $$
$$ \sqrt{7^2 + (3 - y)^2} = \sqrt{74} $$
$$ \sqrt{49 + (3 - y)^2} = \sqrt{74} $$
$$ 49 + (3 - y)^2 = 74 $$
$$ (3 - y)^2 = 25 $$
$$ 3 - y = \pm 5 $$

Resolvendo para $ y $:

Caso 1:
$$ 3 - y = 5 $$
$$ y = -2 $$

Caso 2:
$$ 3 - y = -5 $$
$$ y = 8 $$

Portanto, as possíveis ordenadas de $ P $ são $ -2 $ ou $ 8 $.