13. Encontre a fração geratriz das dízimas periódicas:

a. 0,555...
b. 12424...
c. 0,777...
d. 0,3131...

Question

13. Encontre a fração geratriz das dízimas periódicas:

a. 0,555...
b. 12424...
c. 0,777...
d. 0,3131...

Accepted Answer

Para encontrar a fração geratriz das dízimas periódicas, podemos seguir os seguintes passos:

a. $0,555\ldots$

Seja $x = 0,555\ldots$.

Multiplicando por 10: $10x = 5,555\ldots$.

Subtraindo as duas equações:

$$10x - x = 5,555\ldots - 0,555\ldots$$

$$9x = 5$$

$$x = \frac{5}{9}$$

b. $1,2424\ldots$

Seja $x = 1,2424\ldots$.

Multiplicando por 100: $100x = 124,2424\ldots$.

Subtraindo as duas equações:

$$100x - x = 124,2424\ldots - 1,2424\ldots$$

$$99x = 123$$

$$x = \frac{123}{99} = \frac{41}{33}$$ (simplificando)

c. $0,777\ldots$

Seja $x = 0,777\ldots$.

Multiplicando por 10: $10x = 7,777\ldots$.

Subtraindo as duas equações:

$$10x - x = 7,777\ldots - 0,777\ldots$$

$$9x = 7$$

$$x = \frac{7}{9}$$

d. $0,3131\ldots$

Seja $x = 0,3131\ldots$.

Multiplicando por 100: $100x = 31,3131\ldots$.

Subtraindo as duas equações:

$$100x - x = 31,3131\ldots - 0,3131\ldots$$

$$99x = 31$$

$$x = \frac{31}{99}$$

Portanto, as frações geratrizes são:

a. $\frac{5}{9}$  
b. $\frac{41}{33}$  
c. $\frac{7}{9}$  
d. $\frac{31}{99}$