161. Dê o domínio das seguintes funções reals:
a) $ f(x)=3 x+2 $
d) $ p(x)=\sqrt{x-1} $
g) $ s(x)=\sqrt[3]{2 x-1} $
b) $ g(x)=\frac{1}{x+2} $
e) $ q(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}} $
h) $ t(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{2 x}+3} $
c) $ h(x)=\frac{x-1}{x^{2}-4} $
f) $ r(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-2} $
i) $ u(x)=\frac{\sqrt[3]{x+2}}{x-3} $
162. Sendo $ x \geqslant 4 $, determine o conjunto imagem da função $ y=\sqrt{x}+\sqrt{x-4} $,
163. Se f: $ A \rightarrow B $ é uma função e se $ D \subset A $, chamamos de imagem de $ D $ pela função $ f $ ao conjunto anotado e definido por:
$ f\langle D\rangle=\{y \in B \mid $ existe $ x \in D $ tal que $ f(x)=y\} $
Se g é a função de $ \mathbb{R} $ em $ \mathbb{R} $ cujo gráfico está representado ao lado, determine a imagem de g do intervalo fechado $ [5 ; 9] $.
V. Funções iguais
79. Duas funções $ f: A \rightarrow B $ e $ g: C \rightarrow D $ são iguais se, e somente se, apresentarem:
a) domínios iguais $ (A=C) $;
b) contradomínios iguais $ (B=D) $;
c) $ f(x)=g(x) $ para todo $ x $ do domínio.
Isso equivale a dizer que duas funções $ f $ e $ g $ são iguais se, e somente se, forem conjuntos iguais de pares ordenados.

Question

Accepted Answer

Vamos determinar o domínio das funções reais dadas uma por uma:

a) $ f(x)=3x+2 $

O domínio de $ f $ é todo o conjunto dos números reais, $\mathbb{R}$, pois não há restrições para $ x $.

d) $ p(x)=\sqrt{x-1} $

Para que a expressão sob a raiz quadrada seja válida, ela precisa ser maior ou igual a 0. Assim, temos:
$$ x-1 \geq 0 $$
$$ x \geq 1 $$
Portanto, o domínio de $ p $ é $ x \geq 1 $ ou, em notação de intervalo, $[1, \infty)$.

g) $ s(x)=\sqrt[3]{2x-1} $

A raiz cúbica está definida para todos os números reais, então o domínio de $ s $ é $\mathbb{R}$.

b) $ g(x)=\frac{1}{x+2} $

A expressão não está definida quando o denominador é igual a 0. Assim, temos:
$$ x+2 \neq 0 $$
$$ x \neq -2 $$
Portanto, o domínio de $ g $ é todos os reais exceto $-2$, ou seja, $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

e) $ q(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}} $

Para que a expressão sob a raiz quadrada seja válida e o denominador não seja zero, $x+1$ deve ser maior que 0. Assim:
$$ x+1 > 0 $$
$$ x > -1 $$
Portanto, o domínio de $ q $ é $ x > -1 $ ou, em notação de intervalo, $(-1, \infty)$.

h) $ t(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{2x}+3} $

Não há restrições para o valor sob a raiz cúbica, mas precisamos garantir que o denominador não seja zero. Para isso, vamos resolver a equação $\sqrt[3]{2x} + 3 = 0$, mas percebemos que isso não restringe $x$ no conjunto dos reais, pois a raiz cúbica pode assumir qualquer valor real. Portanto, o domínio de $ t $ é $\mathbb{R}$.

c) $ h(x)=\frac{x-1}{x^2-4} $

O denominador não pode ser zero. Fatorando o denominador, temos:
$$ x^2-4 = (x-2)(x+2) $$
$$ (x-2)(x+2) \neq 0 $$
$$ x \neq 2 \text{ e } x \neq -2 $$
Portanto, o domínio de $ h $ é $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

f) $ r(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-2} $

Para a expressão sob a raiz quadrada ser válida, $x+2$ deve ser maior ou igual a 0, e o denominador não pode ser zero. Assim:
$$ x+2 \geq 0 $$
$$ x \geq -2 $$
E
$$ x-2 \neq 0 $$
$$ x \neq 2 $$
Portanto, o domínio de $ r $ é $ x \geq -2 $ exceto $ x = 2 $, ou seja, $[-2, \infty) \setminus \{2\}$.

i) $ u(x)=\frac{\sqrt[3]{x+2}}{x-3} $

Não há restrições para o valor sob a raiz cúbica, mas o denominador não pode ser zero. Assim:
$$ x-3 \neq 0 $$
$$ x \neq 3 $$
Portanto, o domínio de $ u $ é $\mathbb{R} \setminus \{3\}$.

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Para a questão 162, dado $ x \geqslant 4 $, queremos determinar o conjunto imagem da função $ y=\sqrt{x}+\sqrt{x-4} $.

Como $ x $ aumenta a partir de 4, tanto $ \sqrt{x} $ quanto $ \sqrt{x-4} $ aumentam. No ponto inicial, quando $ x=4 $, temos:
$$ y = \sqrt{4} + \sqrt{4-4} = 2 + 0 = 2 $$

À medida que $ x $ se torna muito grande, ambos os termos sob as raízes quadradas crescem, e assim $ y $ também cresce sem limite. Portanto, o conjunto imagem é $[2, \infty)$.

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Para a questão 163, sem uma imagem específica do gráfico da função $ g $, não posso fornecer uma resposta exata. A imagem de $ g $ do intervalo fechado $ [5; 9] $ dependeria do comportamento específico de $ g $ nesse intervalo, o qual precisaria ser analisado diretamente do gráfico fornecido.

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Na seção V sobre Funções iguais, a descrição está correta: duas funções são iguais se possuem os mesmos domínios, contradomínios, e se $ f(x) = g(x) $ para todo $ x $ no domínio comum.