2 Considere um grande retângulo chamado PQRS. Agora, dentro desse retângulo, a partir do segmento SP, desenhamos um quadrado menor chamado SPTU. Perceba que o retângulo restante, TQRU, é um retângulo semelhante ao retângulo original, PQRS. Observe como ficou essa construção.

Com base nas informações apresentadas, responda: Qual é a razão (r) entre a medida do lado mais comprido do retângulo PQRS e a medida do lado mais curto desse mesmo retângulo, nessa ordem? Existe algo de especial sobre essa relação? Justifique:

Question

2 Considere um grande retângulo chamado PQRS. Agora, dentro desse retângulo, a partir do segmento SP, desenhamos um quadrado menor chamado SPTU. Perceba que o retângulo restante, TQRU, é um retângulo semelhante ao retângulo original, PQRS. Observe como ficou essa construção.

Com base nas informações apresentadas, responda: Qual é a razão (r) entre a medida do lado mais comprido do retângulo PQRS e a medida do lado mais curto desse mesmo retângulo, nessa ordem? Existe algo de especial sobre essa relação? Justifique:

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos analisar a construção descrita:

1. O retângulo $PQRS$ tem um quadrado $SPTU$ desenhado dentro dele.
2. O retângulo restante $TQRU$ é semelhante ao retângulo original $PQRS$.

Seja $x$ o lado do quadrado $SPTU$ e $y$ a altura do retângulo $PQRS$. Como $TQRU$ é semelhante a $PQRS$, a proporção entre os lados deve ser a mesma.

Seja $l$ o comprimento do lado maior de $PQRS$, então o comprimento do lado maior de $TQRU$ é $l-x$.

A relação de semelhança entre os retângulos $PQRS$ e $TQRU$ implica que:

$$
\frac{l}{y} = \frac{y}{l-x}
$$

Resolvendo essa equação para encontrar a razão $r = \frac{l}{y}$:

Multiplicando cruzado, temos:

$$
l(l-x) = y^2
$$

$$
l^2 - lx = y^2
$$

Note que essa é uma equação que caracteriza a razão áurea, onde a razão $r$ é o número de ouro $\phi$, aproximadamente 1.618.

Portanto, a razão entre a medida do lado mais comprido do retângulo $PQRS$ e a medida do lado mais curto desse mesmo retângulo é a razão áurea.

**Existe algo especial sobre essa relação?**

Sim, a razão áurea ($\phi$) é conhecida por suas propriedades matemáticas únicas e sua presença em diversas áreas como arte, arquitetura e natureza. Ela é definida pela equação $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.