56| Verifique se os números abaixo são primos entre si.
a) 14,15
b) 86 e 59
c) 8 e 15
d) 70 e 320
e) 89 e 31
f) 15 e 16

Question

Accepted Answer

Para verificar se dois números são primos entre si, devemos verificar se o máximo divisor comum (MDC) entre eles é 1. Dois números são primos entre si se e somente se o MDC deles for 1.

Vamos calcular o MDC de cada par:

a) 14 e 15:
$$
\text{Divisores de } 14: \{1, 2, 7, 14\}
$$
$$
\text{Divisores de } 15: \{1, 3, 5, 15\}
$$
O único divisor comum é 1.
$$
\text{MDC}(14, 15) = 1
$$
Portanto, 14 e 15 são primos entre si.

b) 86 e 59:
$$
86 = 2 \times 43
$$
$$
59 \text{ é primo}
$$
Como 59 é primo e não divide 86, o único divisor comum é 1.
$$
\text{MDC}(86, 59) = 1
$$
Portanto, 86 e 59 são primos entre si.

c) 8 e 15:
$$
8 = 2^3
$$
$$
15 = 3 \times 5
$$
Os únicos divisores comuns são 1.
$$
\text{MDC}(8, 15) = 1
$$
Portanto, 8 e 15 são primos entre si.

d) 70 e 320:
$$
70 = 2 \times 5 \times 7
$$
$$
320 = 2^6 \times 5
$$
Os divisores comuns incluem 2 e 5.
$$
\text{MDC}(70, 320) = 2 \times 5 = 10
$$
Portanto, 70 e 320 não são primos entre si.

e) 89 e 31:
$$
89 \text{ é primo}
$$
$$
31 \text{ é primo}
$$
Como ambos são primos e diferentes, o único divisor comum é 1.
$$
\text{MDC}(89, 31) = 1
$$
Portanto, 89 e 31 são primos entre si.

f) 15 e 16:
$$
15 = 3 \times 5
$$
$$
16 = 2^4
$$
Os únicos divisores comuns são 1.
$$
\text{MDC}(15, 16) = 1
$$
Portanto, 15 e 16 são primos entre si.

**Resumindo:**
- a) 14 e 15: Primos entre si
- b) 86 e 59: Primos entre si
- c) 8 e 15: Primos entre si
- d) 70 e 320: Não são primos entre si
- e) 89 e 31: Primos entre si
- f) 15 e 16: Primos entre si

56| Verifique se os números abaixo são primos entre si. a) 14,15 b) 86 e 59 c) 8 e 15 d) 70 e 320 e) 89 e 31 f) 15 e 16