Ache os pontos críticos da função f definida por f(x)=x^3+7x^2-5x.

A
P1 = (1/3, -23/27) e P2 = (-5, 5)

B
P1 = (2/3, -13/17) e P2 = (-8, -85)

C
P1 = (5, -13) e P2 = (-6, -85)

D
P1 = (8, -33) e P2 = (-9, -55)

Q: Ache os pontos críticos da função f definida por f(x)=x^3+7x^2-5x. A P1 = (1/3, -23/27) e P2 = (-5, 5) B P1 = (2/3, -13/17) e P2 = (-8, -85) C P1 = (5, -13) e P2 = (-6, -85) D P1 = (8, -33) e P2 = (-9, -55)

Para encontrar os pontos críticos da função $ f(x) = x^3 + 7x^2 - 5x $, precisamos seguir os seguintes passos: 1. **Calcular a derivada da função**: \[ f'(x) = 3x^2 + 14x - 5 \] 2. **Encontrar os valores de $ x $ que tornam $ f'(x) = 0 $**: \[ 3x^2 + 14x - 5 = 0 \] Usando a fórmula quadrática $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $, onde $ a = 3 $, $ b = 14 $, e $ c = -5 $: \[ x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 60}}{6} \] \[ x = \frac{-14 \pm \sqrt{256}}{6} \] \[ x = \frac{-14 \pm 16}{6} \] Assim, temos duas soluções: \[ x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-30}{6} = -5 \] 3. **Calcular $ f(x) $ para esses valores de $ x $**: Para $ x_1 = \frac{1}{3} $: \[ f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 + 7\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 5\left(\frac{1}{3}\right) \] \[ = \frac{1}{27} + \frac{7}{9} - \frac{5}{3} \] \[ = \frac{1}{27} + \frac{21}{27} - \frac{45}{27} \] \[ = \frac{1 + 21 - 45}{27} = \frac{-23}{27} \] Para $ x_2 = -5 $: \[ f(-5) = (-5)^3 + 7(-5)^2 - 5(-5) \] \[ = -125 + 175 + 25 \] \[ = 75 \] Portanto, os pontos críticos são $ P_1 = \left(\frac{1}{3}, -\frac{23}{27}\right) $ e $ P_2 = (-5, 75) $. **Resposta: A** Os pontos críticos corretos são $ P_1 = \left(\frac{1}{3}, -\frac{23}{27}\right) $ e $ P_2 = (-5, 75) $.

Question

Ache os pontos críticos da função f definida por f(x)=x^3+7x^2-5x.

A
P1 = (1/3, -23/27) e P2 = (-5, 5)

B
P1 = (2/3, -13/17) e P2 = (-8, -85)

C
P1 = (5, -13) e P2 = (-6, -85)

D
P1 = (8, -33) e P2 = (-9, -55)

Accepted Answer

Para encontrar os pontos críticos da função $ f(x) = x^3 + 7x^2 - 5x $, precisamos seguir os seguintes passos:

1. **Calcular a derivada da função**:
   $$
   f'(x) = 3x^2 + 14x - 5
   $$

2. **Encontrar os valores de $ x $ que tornam $ f'(x) = 0 $**:
   $$
   3x^2 + 14x - 5 = 0
   $$

Usando a fórmula quadrática $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $, onde $ a = 3 $, $ b = 14 $, e $ c = -5 $:

$$
   x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5)}}{2 \cdot 3}
   $$
   $$
   x = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 60}}{6}
   $$
   $$
   x = \frac{-14 \pm \sqrt{256}}{6}
   $$
   $$
   x = \frac{-14 \pm 16}{6}
   $$

Assim, temos duas soluções:
   $$
   x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
   $$
   $$
   x_2 = \frac{-30}{6} = -5
   $$

3. **Calcular $ f(x) $ para esses valores de $ x $**:

Para $ x_1 = \frac{1}{3} $:
   $$
   f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 + 7\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 5\left(\frac{1}{3}\right)
   $$
   $$
   = \frac{1}{27} + \frac{7}{9} - \frac{5}{3}
   $$
   $$
   = \frac{1}{27} + \frac{21}{27} - \frac{45}{27}
   $$
   $$
   = \frac{1 + 21 - 45}{27} = \frac{-23}{27}
   $$

Para $ x_2 = -5 $:
   $$
   f(-5) = (-5)^3 + 7(-5)^2 - 5(-5)
   $$
   $$
   = -125 + 175 + 25
   $$
   $$
   = 75
   $$

Portanto, os pontos críticos são $ P_1 = \left(\frac{1}{3}, -\frac{23}{27}\right) $ e $ P_2 = (-5, 75) $.

**Resposta: A**

Os pontos críticos corretos são $ P_1 = \left(\frac{1}{3}, -\frac{23}{27}\right) $ e $ P_2 = (-5, 75) $.