E6. Um carro A está se movimentando para oeste a $ 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $ e o carro B para norte a $ 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $. Ambos vão em direção à interseção das duas estradas. Qual é a taxa de variação da distância entre os carros quando A está a $ 60 \mathrm{~m} $ e B a $ 80 \mathrm{~m} $ da interseção?
A
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18/05/24

Question

E6. Um carro A está se movimentando para oeste a $ 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $ e o carro B para norte a $ 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $. Ambos vão em direção à interseção das duas estradas. Qual é a taxa de variação da distância entre os carros quando A está a $ 60 \mathrm{~m} $ e B a $ 80 \mathrm{~m} $ da interseção?

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18/05/24

Accepted Answer

Para resolver este problema, vamos utilizar o teorema de Pitágoras e derivadas relacionadas.

Primeiro, definimos as variáveis:
- $ x $ é a distância do carro A à interseção.
- $ y $ é a distância do carro B à interseção.
- $ z $ é a distância entre os dois carros.

Pelo teorema de Pitágoras, temos:

$$
z^2 = x^2 + y^2
$$

Queremos encontrar a taxa de variação de $ z $ em relação ao tempo ($ \frac{dz}{dt} $) quando $ x = 60 $ m e $ y = 80 $ m.

Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo $ t $, obtemos:

$$
2z \frac{dz}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt}
$$

Simplificando, temos:

$$
z \frac{dz}{dt} = x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt}
$$

Agora, substituímos os valores conhecidos. Primeiro, convertemos as velocidades para metros por segundo (m/s):

$$
90 \text{ km/h} = 90 \times \frac{1000}{3600} \text{ m/s} = 25 \text{ m/s}
$$
$$
100 \text{ km/h} = 100 \times \frac{1000}{3600} \text{ m/s} = 27.78 \text{ m/s}
$$

Note que $ \frac{dx}{dt} = -25 $ m/s (negativo porque A está se aproximando da interseção) e $ \frac{dy}{dt} = -27.78 $ m/s (negativo porque B também está se aproximando da interseção).

Calculamos $ z $ quando $ x = 60 $ m e $ y = 80 $ m:

$$
z = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100 \text{ m}
$$

Substituindo os valores na equação derivada:

$$
100 \frac{dz}{dt} = 60(-25) + 80(-27.78)
$$
$$
100 \frac{dz}{dt} = -1500 - 2222.4
$$
$$
100 \frac{dz}{dt} = -3722.4
$$
$$
\frac{dz}{dt} = -37.224 \text{ m/s}
$$

Portanto, a taxa de variação da distância entre os carros quando A está a 60 m e B a 80 m da interseção é:

$$
\boxed{-37.224 \text{ m/s}}
$$