Marcelo herói elaborar uma situação problema de análise combinatória envolvendo placas de carros Ele Escolheu formar uma placa usando três letras distintas e três números distintos para tanto ele usar as vogais de nosso alfabeto os algarismos do nosso sistema de numeração quantas placas diferentes poderão ser formadas
A
Aluno
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26/03/24

Question

Marcelo herói elaborar uma situação problema de análise combinatória envolvendo placas de carros Ele Escolheu formar uma placa usando três letras distintas e três números distintos para tanto ele usar as vogais de nosso alfabeto os algarismos do nosso sistema de numeração quantas placas diferentes poderão ser formadas

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26/03/24

Accepted Answer

Para elaborar uma situação-problema de análise combinatória envolvendo placas de carros, seguindo as especificações dadas por Marcelo, temos o seguinte cenário:

**Situação-Problema:**
Marcelo está desenhando um novo modelo de placas de carros para um projeto especial. Ele decide que cada placa será composta por três letras distintas seguidas por três números distintos. No entanto, para simplificar e tornar as placas mais memoráveis, ele opta por usar apenas as vogais do alfabeto (A, E, I, O, U) para a parte alfabética da placa. Para a parte numérica, ele utiliza os algarismos do sistema de numeração decimal (0 a 9). Marcelo quer saber quantas placas diferentes podem ser formadas sob estas condições.

**Solução:**

Para resolver essa situação, precisamos calcular o número total de combinações possíveis para as letras e para os números, e depois multiplicar esses dois resultados.

1. **Combinações de Letras:**
   - Como há 5 vogais no alfabeto e cada placa deve ter 3 letras distintas, o número de combinações possíveis para as letras é dado pelo número de arranjos de 5 elementos tomados 3 a 3.
   - A fórmula para calcular arranjos de $n$ elementos tomados $k$ a $k$ é $A_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}$, onde $n!$ representa o fatorial de $n$.
   - Portanto, o número de combinações de letras é $A_{5,3} = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{1} = 60$.

2. **Combinações de Números:**
   - Existem 10 algarismos (0 a 9), e cada placa deve ter 3 números distintos.
   - O número de combinações possíveis para os números é dado pelo número de arranjos de 10 elementos tomados 3 a 3.
   - Usando a fórmula de arranjos, temos $A_{10,3} = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{1} = 720$.

3. **Número Total de Placas Possíveis:**
   - Para encontrar o número total de placas diferentes que podem ser formadas, multiplicamos o número de combinações de letras pelo número de combinações de números.
   - Logo, o total de placas diferentes é $60 \times 720 = 43.200$.

**Conclusão:**
Sob as condições estabelecidas por Marcelo, podem ser formadas 43.200 placas diferentes de carros, utilizando três letras distintas entre as vogais e três números distintos entre os algarismos de 0 a 9.