O trabalho realizado por um gás ideal em uma transformação isotérmica (a Temperatura constante) de um volume inicial Vi para um volume final Vi,é dado por

W = nRTIn vf/vi
Demostração

Question

O trabalho realizado por um gás ideal em uma transformação isotérmica (a Temperatura constante) de um volume inicial Vi para um volume final Vi,é dado por

W = nRTIn vf/vi
Demostração

Accepted Answer

Para demonstrar a fórmula do trabalho realizado por um gás ideal em uma transformação isotérmica, começamos com a primeira lei da termodinâmica e a equação de estado dos gases ideais.

A primeira lei da termodinâmica é dada por:

$$
\Delta U = Q - W
$$

Para uma transformação isotérmica, a variação da energia interna ($\Delta U$) é zero, pois a temperatura ($T$) é constante e a energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura. Assim, temos:

$$
0 = Q - W \implies Q = W
$$

A equação de estado dos gases ideais é:

$$
PV = nRT
$$

onde $P$ é a pressão, $V$ é o volume, $n$ é o número de mols do gás, $R$ é a constante dos gases ideais e $T$ é a temperatura.

Para encontrar o trabalho $W$ realizado pelo gás durante uma expansão isotérmica de um volume inicial $V_i$ para um volume final $V_f$, usamos a definição de trabalho em termos de pressão e volume:

$$
W = \int_{V_i}^{V_f} P \, dV
$$

Como a transformação é isotérmica, podemos expressar a pressão $P$ em termos de $V$ usando a equação de estado dos gases ideais:

$$
P = \frac{nRT}{V}
$$

Substituindo essa expressão na integral do trabalho, obtemos:

$$
W = \int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V} \, dV
$$

Como $n$, $R$ e $T$ são constantes (a temperatura é constante na transformação isotérmica), podemos fatorá-los para fora da integral:

$$
W = nRT \int_{V_i}^{V_f} \frac{1}{V} \, dV
$$

A integral de $\frac{1}{V}$ é o logaritmo natural:

$$
W = nRT \left[ \ln V \right]_{V_i}^{V_f}
$$

Calculando a diferença entre os limites de integração, temos:

$$
W = nRT \left( \ln V_f - \ln V_i \right)
$$

Usando a propriedade dos logaritmos $\ln a - \ln b = \ln \left( \frac{a}{b} \right)$, obtemos:

$$
W = nRT \ln \left( \frac{V_f}{V_i} \right)
$$

Portanto, o trabalho realizado por um gás ideal durante uma transformação isotérmica é dado por:

$$
W = nRT \ln \left( \frac{V_f}{V_i} \right)
$$

O trabalho realizado por um gás ideal em uma transformação isotérmica (a Temperatura constante) de um volume inicial Vi para um volume final Vi,é dado por W = nRTIn vf/vi Demostração