Questão 03
A regra da cadeia nos ajuda a determinar a derivada de uma função composta. Seu enunciado diz que:
Se y é uma função de u e se a derivada de y em relação a u existe, e se u é uma função de x e se a derivada de u em relação a x existe e é dada por:

dy
dx = (dy
du) * (du
dx)

Diante do exposto, determine as derivadas das funções compostas apresentadas nos itens I, II e III, e analise as afirmações seguintes:

I. A derivada da função f(x) = (2x - 1)³ é igual a f'(x) = 3 • (2x - 1)² • (2).
II. A derivada da função g(x) = e^(x² + 1) é igual a g'(x) = e^(x² + 1) • (2x).
III. A derivada da função h(x) = sen(x² - 5x) é igual a h'(x) = (2x - 5) • cos(x² - 5x).

Question

Questão 03
A regra da cadeia nos ajuda a determinar a derivada de uma função composta. Seu enunciado diz que:
Se y é uma função de u e se a derivada de y em relação a u existe, e se u é uma função de x e se a derivada de u em relação a x existe e é dada por:

dy
dx = (dy
du) * (du
dx)

Diante do exposto, determine as derivadas das funções compostas apresentadas nos itens I, II e III, e analise as afirmações seguintes:

I. A derivada da função f(x) = (2x - 1)³ é igual a f'(x) = 3 • (2x - 1)² • (2).
II. A derivada da função g(x) = e^(x² + 1) é igual a g'(x) = e^(x² + 1) • (2x).
III. A derivada da função h(x) = sen(x² - 5x) é igual a h'(x) = (2x - 5) • cos(x² - 5x).

Accepted Answer

Para resolver as questões, vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada para derivar funções compostas.

### I. Derivada de $ f(x) = (2x - 1)^3 $

A função é composta por $ u = 2x - 1 $ e $ y = u^3 $.

1. Derive $ u $ em relação a $ x $: 
   $$
   \frac{du}{dx} = 2
   $$

2. Derive $ y $ em relação a $ u $:
   $$
   \frac{dy}{du} = 3u^2
   $$

3. A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
   $$
   \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6(2x - 1)^2
   $$

Portanto, a afirmação I está correta.

### II. Derivada de $ g(x) = e^{x^2 + x} $

A função é composta por $ u = x^2 + x $ e $ y = e^u $.

1. Derive $ u $ em relação a $ x $:
   $$
   \frac{du}{dx} = 2x + 1
   $$

2. Derive $ y $ em relação a $ u $:
   $$
   \frac{dy}{du} = e^u
   $$

3. A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
   $$
   \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^{x^2 + x} \cdot (2x + 1)
   $$

Portanto, a afirmação II está correta.

### III. Derivada de $ h(x) = \sin(x^2 - 5x) $

A função é composta por $ u = x^2 - 5x $ e $ y = \sin(u) $.

1. Derive $ u $ em relação a $ x $:
   $$
   \frac{du}{dx} = 2x - 5
   $$

2. Derive $ y $ em relação a $ u $:
   $$
   \frac{dy}{du} = \cos(u)
   $$

3. A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
   $$
   \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos(x^2 - 5x) \cdot (2x - 5)
   $$

Portanto, a afirmação III está correta.

**Conclusão:** Todas as afirmações I, II e III estão corretas.