Trace a imagem de $ \triangle A B C $ após uma redução cujo centro é $ P $ e o fator de escala é $ \frac{1}{4} $.

Question

Accepted Answer

Para traçar a imagem de $ \triangle ABC $ após uma redução com centro $ P $ e fator de escala $ \frac{1}{4} $, siga estes passos:

### Passo 1: Identificar pontos

Identifique as coordenadas dos vértices do triângulo $ A, B, $ e $ C $, assim como a localização do ponto $ P $ que servirá como centro da redução.

### Passo 2: Calcular vetores de deslocamento

Calcule os vetores de deslocamento de $ P $ para cada um dos vértices $ A, B, $ e $ C $. Se $ P(x_p, y_p) $, $ A(x_a, y_a) $, $ B(x_b, y_b) $, e $ C(x_c, y_c) $, então os vetores são:

- $\vec{PA} = (x_a - x_p, y_a - y_p)$
- $\vec{PB} = (x_b - x_p, y_b - y_p)$
- $\vec{PC} = (x_c - x_p, y_c - y_p)$

### Passo 3: Aplicar o fator de escala

Aplique o fator de escala $ \frac{1}{4} $ aos vetores de deslocamento para encontrar os novos vetores de deslocamento que levarão aos pontos $ A', B', $ e $ C' $, os vértices do triângulo reduzido:

- $\vec{PA'} = \frac{1}{4}\vec{PA} = \left(\frac{x_a - x_p}{4}, \frac{y_a - y_p}{4}\right)$
- $\vec{PB'} = \frac{1}{4}\vec{PB} = \left(\frac{x_b - x_p}{4}, \frac{y_b - y_p}{4}\right)$
- $\vec{PC'} = \frac{1}{4}\vec{PC} = \left(\frac{x_c - x_p}{4}, \frac{y_c - y_p}{4}\right)$

### Passo 4: Determinar as coordenadas dos novos vértices

Use os novos vetores de deslocamento para encontrar as coordenadas dos novos vértices $ A', B', $ e $ C' $:

- $A' = P + \vec{PA'} = \left(x_p + \frac{x_a - x_p}{4}, y_p + \frac{y_a - y_p}{4}\right)$
- $B' = P + \vec{PB'} = \left(x_p + \frac{x_b - x_p}{4}, y_p + \frac{y_b - y_p}{4}\right)$
- $C' = P + \vec{PC'} = \left(x_p + \frac{x_c - x_p}{4}, y_p + \frac{y_c - y_p}{4}\right)$

Essas serão as coordenadas dos vértices do triângulo após a redução.

### Passo 5: Traçar o triângulo reduzido

Com as coordenadas de $ A', B', $ e $ C' $ identificadas, você pode traçar o novo triângulo $ \triangle A'B'C' $ em um plano cartesiano ou em papel milimetrado, mantendo a proporção correta entre os lados.

Lembre-se de que este método pressupõe que você tem as coordenadas específicas dos pontos. Se estiver trabalhando com uma representação gráfica sem um sistema de coordenadas claro, você precisará usar uma régua para medir as distâncias e aplicar a redução proporcionalmente.

Trace a imagem de \( \triangle A B C \) após uma redução cujo centro é \( P \) e o fator de escala é \( \frac{1}{4} \).