1. Uma grande superficie plana, não-condutora, tem densidade de cargas uniforme - $ \sigma $. No meio dessa superficie foi feito um pequeno furo circular de raio $ R $, conforme figura abaixo. Desprezando o encurvamento das linhas de campo em todas as bordas:
a) Calcule o campo elétrico no ponto P , à distância $ z $ do centro do furo e ao longo do seu eixo.
b) Considere agora que uma carga positiva com carga $ q $ e massa $ m $ é colocada sobre o eixo $ \mathrm{O} z $ e afastada do centro do buraco em um ponto $ z $ tal que $ R \ggz $. A carga $ q $, que pode se mover livremente ao longo do $ \mathrm{O} z $ é, a seguir, liberada. Porque o movimento da carga $ q $ é harmônico simples?
c) Determine o período da oscilação da carga - $ q $. Se for necessário, utilize a aproximação binomial: $ (1+x)^{n} \approx 1+n x $, se $ |x| \ll 1 $.

Question

1. Uma grande superficie plana, não-condutora, tem densidade de cargas uniforme - $ \sigma $. No meio dessa superficie foi feito um pequeno furo circular de raio $ R $, conforme figura abaixo. Desprezando o encurvamento das linhas de campo em todas as bordas:
a) Calcule o campo elétrico no ponto P , à distância $ z $ do centro do furo e ao longo do seu eixo.
b) Considere agora que uma carga positiva com carga $ q $ e massa $ m $ é colocada sobre o eixo $ \mathrm{O} z $ e afastada do centro do buraco em um ponto $ z $ tal que $ R \gg>z $. A carga $ q $, que pode se mover livremente ao longo do $ \mathrm{O} z $ é, a seguir, liberada. Porque o movimento da carga $ q $ é harmônico simples?
c) Determine o período da oscilação da carga - $ q $. Se for necessário, utilize a aproximação binomial: $ (1+x)^{n} \approx 1+n x $, se $ |x| \ll 1 $.

Accepted Answer

Vamos resolver cada parte do problema passo a passo.

### Parte (a) - Campo Elétrico no ponto P

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico no ponto $ P $, a uma distância $ z $ do centro do furo e ao longo do seu eixo.

Considerando que a superfície é infinita e tem uma densidade de carga superficial uniforme $ \sigma $, o campo elétrico gerado por uma superfície infinita é dado por:

$$ E_{\text{infinito}} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} $$

onde $ \epsilon_0 $ é a permissividade elétrica do vácuo.

Para encontrar o campo elétrico no ponto $ P $ devido ao furo, podemos usar o princípio da superposição. O campo elétrico total no ponto $ P $ é a soma do campo elétrico devido à superfície infinita não perfurada menos o campo elétrico devido ao disco de raio $ R $.

O campo elétrico ao longo do eixo de um disco carregado uniformemente com densidade superficial de carga $ \sigma $ é dado por:

$$ E_{\text{disco}} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} \right) $$

Portanto, o campo elétrico no ponto $ P $ devido ao furo é:

$$ E_P = E_{\text{infinito}} - E_{\text{disco}} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left( 1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} \right) $$

Simplificando, temos:

$$ E_P = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \cdot \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} $$

### Parte (b) - Movimento Harmônico Simples

Para a segunda parte do problema, considere que a carga $ q $ é colocada sobre o eixo $ Oz $ e afastada do centro do buraco em um ponto $ z $ tal que $ R \gg z $.

Se $ R \gg z $, podemos usar a aproximação binomial para simplificar a expressão do campo elétrico:

$$ \sqrt{z^2 + R^2} \approx R \left( 1 + \frac{z^2}{2R^2} \right) $$

Substituindo isso na expressão do campo elétrico:

$$ E_P \approx \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \cdot \frac{z}{R \left( 1 + \frac{z^2}{2R^2} \right)} \approx \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \cdot \frac{z}{R} \left( 1 - \frac{z^2}{2R^2} \right) \approx \frac{\sigma z}{2\epsilon_0 R} $$

A força que age sobre a carga $ q $ é:

$$ F = qE_P \approx q \cdot \frac{\sigma z}{2\epsilon_0 R} $$

Essa força é proporcional ao deslocamento $ z $ e atua na direção oposta, o que caracteriza o movimento harmônico simples. Portanto, a carga $ q $ executa um movimento harmônico simples.

### Parte (c) - Período da Oscilação

Para determinar o período da oscilação, usamos a fórmula do período para um oscilador harmônico simples:

$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} $$

onde $ k $ é a constante de restauração. A força restauradora é dada por:

$$ F = -kz $$

Comparando com a expressão da força obtida anteriormente:

$$ k = \frac{q\sigma}{2\epsilon_0 R} $$

Substituindo na fórmula do período:

$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{q\sigma}{2\epsilon_0 R}}} = 2\pi \sqrt{\frac{2m\epsilon_0 R}{q\sigma}} $$

Portanto, o período da oscilação da carga $ q $ é:

$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{2m\epsilon_0 R}{q\sigma}} $$

Esses são os cálculos e explicações para cada parte do problema.