1) Ache um vetor unitário ortogonal a \mathbf{u} = (1,-3,1),...

1. Ache um vetor unitário ortogonal a \mathbf{u} = (1,-3,1), \mathbf{v} = (-3,3,3).

2. Resolva o sistema:

$$\bar{x}: (2i + 3j + 4k) = 9$$ $$\bar{x} \wedge (-i + j - k) = -2i + 2k$$

3. Dados \mathbf{u} = (1,1,1), \mathbf{v} = (0,1,2), ache uma base ortonormal positiva (\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}), tal que: (i) \mathbf{a} / || \mathbf{u} ||, \mathbf{a} tem o mesmo sentido que \mathbf{u}. (ii) \mathbf{b} é combinação linear de \mathbf{u} e \mathbf{v} e sua primeira coordenada é positiva.

4. Calcule [\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}], sendo \mathbf{u} = (-1,-3,1), \mathbf{v} = (1,0,1), \mathbf{w} = (2,1,1).

5. Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores \mathbf{u} = (2,-2,0), \mathbf{v} = (0,1,0), \mathbf{w} = (-2,-1,-1).

6. Calcule o volume do tetraedro ABCD dados

$$\mathbf{AB} = (1,1,0), \mathbf{AC} = (0,0,1), \mathbf{AD} = (-4,0,0).$$

7. Prove que a altura do \triangle ABC relativa ao lado AB mede

$$h = \frac{| \mathbf{AB} \wedge \mathbf{AC} |}{| \mathbf{AB} |}$$

8. Calcule a distância do ponto C à reta r que passa por dois pontos distintos A e B.

9. Dados os vetores \mathbf{u} = (1,-1,2), \mathbf{v} = (3,1,3), \mathbf{w} = (3,5,-5), a) Calcular (\mathbf{u} \wedge \mathbf{v}) \wedge \mathbf{w}; b) Determinar \lambda para que \mathbf{u}, \mathbf{v} e \mathbf{w} sejam coplanares.

10. Prove que a altura do tetraedro ABCD relativa à base ABC é:

$$h = \frac{| \mathbf{AB}, \mathbf{AC}, \mathbf{AD} |}{| \mathbf{AB} \wedge \mathbf{AC} |}$$

Sugestão: Volume = \frac{1}{3} (Área \triangle ABC) . h.

11. Considere um sistema de coordenadas ortogonais (O, \mathbf{e_1}, \mathbf{e_2}, \mathbf{e_3}) e use vetores para responder: a) Mostre que os pontos A = (1, 2, 2), B = (3, 3, 4), C = (4, 5, 3) e D = (2, 4, 1) são vértices de um paralelogramo. b) Verifique se pontos A = (2, 2, 1), B = (3, 1, 2), C = (2, 3, 0) e D = (4, 1, 2) são coplanares. c) Mostre que o triângulo com vértices A = (-1, -1, 0), B = (4, 3, 5) e C = (3, 0, 2) é retângulo. d) Determine o ponto médio M do segmento de extremidades A = (-1, 4, 7) e B = (0, 1, 1), partindo de:

$$M = P + \frac{1}{2} PQ.$$

12. Sejam os sistemas de coordenadas S = (O, \mathbf{e_1}, \mathbf{e_2}, \mathbf{e_3}) e S' = (O', \mathbf{f_1}, \mathbf{f_2}, \mathbf{f_3}), onde O' = (1, 2, -1),

$$\mathbf{f_1} = \mathbf{e_1} + 2\mathbf{e_2} - \mathbf{e_3}.$$

Dê as coordenadas do ponto P = (2, 1, -3) no sistema S' e as coordenadas do ponto Q = (0, 1, -1) no sistema S.