Movimentos Vibratórios: Estudo de Sistemas de Dois Graus de Liberdade

21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 175 Movimentos vibratórios Prof Ricardo Teixeira da Costa Neto Descrição Você será apresentado às relações existentes entre os movimentos de sistemas com dois graus de liberdade que embora sejam independentes apresentam influência mútua Propósito O entendimento das relações entre o movimento de corpos peças e elementos quer estejam interconectados ou não é essencial para que o profissional da área de mecânica esteja apto a dimensionar máquinas que executem movimentos repetitivos Preparação Antes de iniciar seu estudo procure observar o funcionamento de sistemas conhecidos diretamente ou por meio de vídeos tais como máquinas operatrizes tornos universais fresadoras geradores elétricos bombas centrífugas e um automóvel se deslocando em uma estrada ondulada Objetivos Módulo 1 Sistemas de dois graus de liberdade Reconhecer a influência mútua dos movimentos dos dois graus de liberdade do sistema Módulo 2 Vibrações forçadas em sistemas não amortecidos 21112023 1529 Movimentos vibratérios Reconhecer 0 comportamento dos sistemas conservativos sujeitos a forgamentos externos e a excitagdes de base Médulo 3 sistemas de dois graus de liberdade amortecidos Reconhecer 0 comportamento dos sistemas oscilatérios de dois graus de liberdade amortecidos e os absorvedores de vibragdes dessa categoria Ola Antes de comecarmos assista ao video e entenda os conceitos relacionados aos movimentos vibratérios Para assistir a um video sobre o assunto acesse a verso online deste conteudo 0 WR ks ak ol i 1 Sistemas de dois graus de liberdade Ao final deste mddulo vocé sera capaz de reconhecer a influéncia mutua dos movimentos dos dois graus de liberdade do sistema httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07 140indexhtmlimprimir 275 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 375 Vibrações em sistemas de dois graus de liberdade Neste vídeo você compreenderá os conceitos dos movimentos oscilatórios em sistemas acoplados as oscilações angulares em sistemas torcionais dos movimentos acoplados de um corpo do desacoplamento de sistemas e sistemas degenerados e também dos modos de oscilação de um automóvel Movimentos oscilatórios em sistemas acoplados Neste vídeo você conhecerá o comportamento dos movimentos oscilatórios em sistemas acoplados considerando os sistemas de dois graus de liberdade de translação Os osciladores harmônicos de um grau de liberdade descrevem ou movimentos lineares em apenas uma direção movimentos unidimensionais ou angulares como o pêndulo simples Entretanto nos sistemas com mais graus de liberdade ocorrem movimentos acoplados de forma que um movimento interfere em outros Vamos ver um caso clássico o de duas massas que podem se deslocar em um plano horizontal sem atrito vinculadas por molas Considere a imagem a seguir Sistema harmônico com duas massas e três molas com dois graus de liberdade São duas equações de movimento ambas de Newton translação na direção longitudinal Rotacione a tela As equações são escritas em forma matricial m1x1t k1 k2x1t k2x2t 0 m2x2t k2x1t k2 k3x2t 0 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 475 Rotacione a tela Temos então Matriz de inércia Matriz de rigidez Vetor de graus de liberdade Temse então as equações de movimento escritas em forma matricial Rotacione a tela Agora as frequências naturais não podem mais ser calculadas pela expressão mas a partir dos autovalores da matriz Rotacione a tela Em outras palavras é preciso que o seguinte determinante é a matriz identidade de dimensões 2 2 seja igual a zero Rotacione a tela Como a matriz de inércia é uma matriz diagonal é fácil calcular sua inversa Rotacione a tela O determinante fica Rotacione a tela m1 0 0 m2 x1 x2 k1 k2 k2 k2 k2 k3 x1 x2 0 0 Ξ m1 0 0 m2 K k1 k2 k2 k2 k2 k3 Υ x1 x2 Ξ Y KY 0 km λ A Ξ1K I 1 λI 0 m1 0 0 m2 k1 k2 k2 k2 k2 k3 1 m1 0 0 m2 1m1 0 0 1m2 0 k1k2 m1 λ k2 m1 k2 m2 k2k3 m2 λ 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 575 A expressão do determinante fica muito grande então é melhor atribuir símbolos aos elementos da matriz Rotacione a tela O determinante leva a uma equação do segundo grau em a chamada equação característica Rotacione a tela Tente calcular as raízes Como resultado as raízes são Rotacione a tela Após a substituição temse Rotacione a tela E as frequências naturais são Rotacione a tela Cada frequência natural corresponde um modo normal de vibração que é representado pelos autovetores e chamados de vetores modais do sistema Rotacione a tela 0 k1k2 m1 λ k2 m1 k2 m2 k2k3 m2 λ α λ β m1 m2 β γ λ λ λ2 α γλ αγ m1 m2 β2 0 λ1 1 2 α γ 1 2 α γ2 4 m1 m2 β2 λ2 1 2 α γ 1 2 α γ2 4 m1 m2 β2 λ1 1 2 k1 k2 m1 k2 k3 m2 1 2 k1 k2 m1 k2 k3 m2 2 4 k2 2 m1m2 λ2 1 2 k1 k2 m1 k2 k3 m2 1 2 k1 k2 m1 k2 k3 m2 2 4 k2 2 m1m2 ω1 λ1 ω2 λ2 v1 v2 ω1 v1 ω2 v2 x11 x21 x12 x22 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 675 Tais autovetores são obtidos ao resolver a equação Rotacione a tela Sendo que e são as respectivas amplitudes do movimento de cada massa Ou substituindo Rotacione a tela Escrevendo o sistema temse Rotacione a tela E resolvendo chegase a duas equações Rotacione a tela Assim o que importa não são os valores absolutos das coordenadas dos autovetores e sim a relação entre elas Estabelecese assim uma razão entre os deslocamentos de cada massa em cada modo normal de oscilação Rotacione a tela Supondo de posse dos parâmetros do sistema que os valores dessas relações sejam Rotacione a tela Os valores indicam que No primeiro modo de vibração ω2Ξ K 0 X1 X2 X1 X2 X1 X2 ω2 0 m1 0 0 m2 X1 X2 k1 k2 k2 k2 k2 k3 X1 X2 ω2m1X1 k1 k2X1 k2X2 0 k2X1 ω2m2X2 k2 k3X2 0 k1 k2 ω2m1X1 k2X2 k2X1 k2 k3 ω2m2X2 X21 X11 k1 k2 ω2 1m1 k2 k2 k2 k3 ω2 1m2 X22 X12 k1 k2 ω2 2m1 k2 k2 k2 k3 ω2 2m2 X21 X11 1 2 X22 X12 0 5 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 775 O sistema oscila a uma frequência igual a de maneira que se o bloco se desloca para um lado o bloco se desloca de para o mesmo lado No segundo modo de vibração Se o bloco se desloca para um lado o bloco se desloca de para o lado oposto e agora o sistema vibra na frequência Mas qualquer outro arranjo de deslocamentos dos blocos resultará em um movimento que é a combinação de ambos os modos normais em que as oscilações não ocorrerão nem na frequência nem na frequência Ao arrumar os autovetores em forma de matriz temse a chamada matriz modal do sistema Rotacione a tela Os vetores modais e as frequências naturais constituem os modos de vibração do sistema Assim e constituem o primeiro modo de vibração e e constituem o segundo modo de vibração Esses modos naturais de vibração são uma propriedade do sistema e são únicos exceto pela magnitude das coordenadas dos vetores modais O modo de vibrar é único mas a amplitude não Então se você multiplicar um dos vetores modais por um escalar o modo de vibração continua sendo o mesmo o que muda é a amplitude do movimento Daí é conveniente atribuir o valor 1 a uma das coordenadas e escalonar a outra esse processo se chama normalização Então se Rotacione a tela Normalizando os vetores modais temse Rotacione a tela Rotacione a tela Podese fazer ω1 m1 1m m2 1 2m m1 1m m2 0 5m ω2 ω1 ω2 V x11 x12 x21 x22 ω1 v1 ω2 v2 X21 X11 k1 k2 ω2 1m1 k2 k2 k2 k3 ω2 1m2 X22 X12 k1 k2 ω2 2m1 k2 k2 k2 k3 ω2 2m2 v1 1 k1k2ω2 1m1 k2 1 k2 k2k3ω2 1m2 v2 1 k1k2ω2 2m1 k2 1 k2 k2k3ω2 2m2 Ψ1 k1 k2 ω2 1m1 k2 k2 k2 k3 ω2 1m2 Ψ2 k1 k2 ω2 2m1 k2 k2 k2 k3 ω2 2m2 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 875 Rotacione a tela E representar os modos de vibração conforme a imagem a seguir Modos de vibração do sistema Veremos agora um sistema em que os deslocamentos são angulares São os sistemas torcionais Oscilações angulares em sistemas torcionais Neste vídeo você compreenderá como funcionam as oscilações angulares em sistemas torcionais Será apresentado o desenvolvimento matemático para os modos normais de vibração Nos equipamentos em que há eixos sujeitos à torção ou que sustentam polias ou engrenagens é preciso ter cuidado com as frequências naturais Isso porque esses sistemas podem apresentar deflexões angulares periódicas exageradas que venham a comprometer a integridade do equipamento Um dos casos clássicos para o estudo desses sistemas é o conjunto compreendido por dois discos que são rigidamente montados em um eixo deformável conforme mostrado na imagem que segue Sistema oscilatório torcional de dois graus de liberdade No qual temos 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 975 Cada um dos três segmentos do eixo possui uma rigidez e Os discos são rígidos e seus momentos de inércia são e Cada disco é deslocado de sua respectiva posição de equilíbrio de um ângulo para o disco de momento de inércia para o disco de momento de inércia Devido ao deslocamento os discos irão oscilar em torno do eixo para um lado e para o outro A forma de calcular as frequências naturais de vibração e os vetores modais é a mesma adotada para o sistema de dois blocos e três molas apresentado anteriormente As equações de movimento são Rotacione a tela Temse então as matrizes de inércia de rigidez e o vetor de graus de liberdade Rotacione a tela Para encontrar as frequências naturais o processo é o mesmo Primeiramente calculase matriz Em seguida seus autovalores e por último os vetores modais autovetores O determinante que conduz à equação característica é Rotacione a tela Sendo Rotacione a tela E a chamada equação característica kt1 kt2 kt3 J1 J2 θ1 J1 θ2 J2 J1θ1 kt1 kt2θ1 kt2θ2 0 J2θ2 kt2θ1 kt2 kt3θ2 0 Ξ K Θ J1 0 0 J2 kt1 kt2 kt2 kt2 kt2 kt3 θ1 θ2 A Ξ1K 0 kt1kt2 J1 λ kt2 J1 kt2 J2 kt2kt3 J2 λ α λ β J1 J2 β γ λ α kt1 kt2 J1 β kt2 J1 γ kt2 kt3 J2 λ2 α γλ αγ J1 J2 β2 0 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 1075 Rotacione a tela As raízes são Rotacione a tela Substituindo temse as expressões dos autovalores em função dos parâmetros do sistema Rotacione a tela As frequências naturais são Rotacione a tela Os vetores modais do sistema são obtidos ao resolver a equação Rotacione a tela Sendo e as respectivas amplitudes do movimento de cada massa Substituindo assim como no sistema com dois blocos e três molas chegase a duas equações Rotacione a tela Novamente se estabelece uma razão entre os deslocamentos de cada massa em cada modo normal de oscilação pois o que importa é a razão entre as amplitudes λ1 1 2 α γ 1 2 α γ2 4 J1 J2 β2 λ2 1 2 α γ 1 2 α γ2 4 J1 J2 β2 λ1 1 2 kt1 kt2 J1 kt2 kt3 J2 1 2 kt1 kt2 J1 kt2 kt3 J2 2 4 k2 t2 J1J2 λ2 1 2 kt1 kt2 J1 kt2 kt3 J2 1 2 kt1 kt2 J1 kt2 kt3 J2 2 4 k2 t2 J1J2 ω1 λ1 ω2 λ2 ω2Ξ K 0 Θ1 Θ2 Θ1 Θ2 Θ1 Θ2 kt1 kt2 ω2J1Θ1 kt2Θ2 kt2Θ1 kt2 kt3 ω2J2Θ2 Θ21 Θ11 kt1 kt2 ω2 1J1 kt2 kt2 kt2 kt3 ω2 1J2 Ψ1 Θ22 Θ12 kt1 kt2 ω2 2J1 kt2 kt2 kt2 kt3 ω2 2J2 Ψ2 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 1175 Rotacione a tela De maneira análoga a do sistema com dois blocos e três molas lineares esse sistema também apresenta um modo de vibração com os corpos vibrando em fase e outro modo com os corpos vibrando em oposição de fase Vamos supor que após substituirmos valores dos parâmetros teremos e Quando a razão é positiva os discos oscilam para o mesmo sentido no primeiro modo e quando a razão é negativa giram em sentidos opostos Confira na imagem Modos de vibração do sistema torcional de dois graus de liberdade Temos então Movimentos em fase Quando uma razão entre amplitudes é positiva Movimentos em oposição de fase Quando uma razão entre amplitudes é negativa Os vetores modais podem ser escritos na forma normalizada Se as razões entre as amplitudes das coordenadas são para o primeiro vetor modal Rotacione a tela e para o segundo vetor modal Rotacione a tela Então temse Rotacione a tela Ψ1 0 Ψ2 0 Θ21 Θ11 Ψ1 Θ22 Θ12 Ψ2 Θ21 Ψ1Θ11 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 1275 Rotacione a tela E assim cada vetor é Rotacione a tela Rotacione a tela Ou seja se o primeiro disco for girado de por exemplo e o segundo disco girado de e Ambos irão oscilar no mesmo sentido ora horário ora antihorário mas com amplitudes diferentes com frequência natural Enquanto um disco gira no sentido horário o outro gira no sentido antihorário mas ainda com frequência natural Agora se girarmos novamente o primeiro disco de mas girarmos o segundo disco de o sistema oscilará na frequência natural Analogamente se ambos irão oscilar no mesmo sentido ora horário ora antihorário mas com amplitudes diferentes se cada disco gira para o lado oposto do outro mas ainda com frequência natural Comentário Nesses sistemas foram apresentados os modos normais mas isso não significa que só existam essas formas de vibrar Qualquer outra combinação de deslocamentos que não sejam iguais as dos modos normais resultará em movimentos que são combinações dos modos normais Veremos agora um sistema em que os movimentos de um único corpo são acoplados Movimentos acoplados de um corpo Neste vídeo você conhecerá as particularidades de um sistema harmônico com movimentos acoplados de um corpo Considere uma plataforma apoiada em duas molas como mostrado na imagem a seguir Se por hipótese o movimento é plano os dois graus de liberdade são a translação em e o deslocamento angular Θ22 Ψ2Θ12 v1 1 Ψ1 v2 1 Ψ2 2 2 Ψ1 Ψ1 0 ω1 Ψ1 0 ω1 2 2 Ψ2 ω2 Ψ2 0 Ψ2 0 ω2 Y Θ 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 1375 Plataforma sobre molas com dois graus de liberdade e A plataforma de massa e momento de inércia medido no centro de massa oscila simultaneamente em y e em Os modos de vibração dependem também dos parâmetros Isolando a plataforma supondoa assumindo uma posição qualquer no plano como na próxima imagem temse para pequenos deslocamentos Rotacione a tela Rotacione a tela Consideramos então a imagem Plataforma deslocada de uma altura e um ângulo O deslocamento total de cada mola medido a partir da linha de referência é Rotacione a tela Rotacione a tela Portanto as forças que desenvolvem são respectivamente Rotacione a tela Rotacione a tela As molas não estão localizadas no centro de massa da plataforma e sim vinculadas aos pontos e então suas forças produzem momentos em relação a esse centro Y Θ m J θ a1 a2 k1ek2 h1 a1θ h2 a2θ y θ δk1 y a1θ δk2 y a2θ Fk1 k1 y a1θ Fk2 k2 y a2θ P1 P2 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 1475 Rotacione a tela Rotacione a tela Ou ainda Rotacione a tela Rotacione a tela O próximo passo é escrever as equações de movimento de NewtonEuler uma vez que temos duas equações e duas incógnitas Rotacione a tela Rotacione a tela Substituindo temse Rotacione a tela Separando as variáveis e organizando as equações temse Rotacione a tela Ou ainda Rotacione a tela Observe que ambas as variáveis que representam os movimentos dos graus de liberdade estão em ambas as equações Isso quer dizer que o sistema está acoplado Quando o sistema está acoplado temos Aceleração angular Mk1 a1Fk1 Mk2 a2Fk2 Mk1 a1k1 y a1θ Mk2 a2k2 y a2θ my Fk1 Fk2 Jθ Mk1 Mk2 my k1 y a1θ k2 y a2θ Jθ a1k1y a2k2y a2 1k1θ a2 2k2θ my k1 k2y a2k2 a1k1θ Jθ a2k2 a1k1y a2 1k1 a2 2k2θ my k1 k2y a2k2 a1k1θ 0 Jθ a2k2 a1k1y a2 1k1 a2 2k2θ 0 θ 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 1575 É influenciada também pelo deslocamento vertical Aceleração linear É influenciada também pelo deslocamento angular Um deslocamento angular causará uma perturbação na direção e viceversa Disso temse a combinação dos possíveis movimentos conforme a tabela a seguir Ela pode Subir S e inclinarse em sentido horário H ou antihorário AH Descer D e inclinarse em sentido horário H ou antihorário AH Confira a seguir as combinações possíveis dos movimentos da plataforma apoiada em molas Deslocamento S S D D Deslocamento AH H AH H As equações de movimento são escritas em forma matricial para seguindo o mesmo procedimento dos casos anteriores obter as frequências naturais e os vetores modais Rotacione a tela A matriz de inércia a matriz de rigidez e o vetor de graus de liberdade do sistema são respectivamente y y θ Y Y θ m 0 0 J y θ k1 k2 a2k2 a1k1 a2k2 a1k1 a2 1k1 a2 2k2 y θ 0 0 Σ K Υ m 0 0 J k1 k2 a2k2 a1k1 a2k2 a1k1 a2 1k1 a2 2k2 y θ 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 1675 Rotacione a tela A equação característica desse sistema é Rotacione a tela Sendo Rotacione a tela Rotacione a tela Rotacione a tela As raízes são Rotacione a tela E as duas frequências naturais do sistema são Rotacione a tela Rotacione a tela Analogamente os autovetores Rotacione a tela Rotacione a tela λ2 α γλ αγ m J β2 0 α k1 k2 m β a2k2 a1k1 m γ a2 1k1 a2 2k2 J λ1 α γ α γ2 4 m J β2 2 λ2 α γ α γ2 4 m J β2 2 ω1 λ1 ω2 λ2 v1 y1 θ1 v2 y2 θ2 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 1775 são calculados a partir da equação de movimento na forma matricial Rotacione a tela Ou ainda Rotacione a tela As duas equações levam a duas razões para cada frequência natural que são iguais Rotacione a tela Por exemplo suponha que para uma plataforma em que os autovetores sejam Rotacione a tela Tais valores mostram que Para a primeira frequência natural Para a segunda frequência natural Os modos de vibração são representados na imagem a seguir Observe que esse sistema apresenta o que chamamos de centros de oscilação chamados também de nós ou de polos de oscilação Esses pontos só valem para os modos normais de oscilação e dependem como se pode ver pelas equações dos parâmetros do sistema ω2 0 m 0 0 J Y Θ k1 k2 a2k2 a1k1 a2k2 a1k1 a2 1k1 a2 2k2 Y Θ k1 k2 mω2Y a2k2 a1k1Θ 0 a2k2 a1k1Y a2 1k1 a2 2k2 Jω2Θ 0 ΘY Y1 Θ1 a2k2 a1k1 k1 k2 mω2 1 a2 1k1 a2 2k2 Jω2 1 a2k2 a1k1 Y2 Θ2 a2k2 a1k1 k1 k2 mω2 2 a2 1k1 a2 2k2 Jω2 2 a2k2 a1k1 L 2 76m v1 v2 Y1 Θ1 1 1 12 Y2 Θ2 1 0 35 ω1 Y1 Θ1 0 89mrad ω2 Y2 Θ2 2 86mrad 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 1875 Modos de oscilação de uma plataforma apoiada em duas molas As razões entre as amplitudes de oscilação e representam ainda as distâncias dos centros de oscilação de cada modo de vibração medidas a partir do centro de massa da plataforma na posição de equilíbrio estático Isso significa que em cada modo normal a plataforma gira em torno desses centros Quando o módulo de uma razão é menor do que a distância entre as molas o centro de oscilação está dentro da plataforma se for maior o centro de oscilação estará fora da plataforma Ainda se um centro está fora e à frente do centro de massa o outro estará dentro e atrás do centro de massa da plataforma Desacoplamento de sistemas e sistemas degenerados Neste vídeo você compreenderá o comportamento de sistemas e conheçará as principais relações matemáticas utilizadas nesses sistemas Nos exemplos anteriores vimos que os sistemas com dois graus de liberdade apresentam movimentos acoplados em que o movimento de um corpo interfere no do outro como no caso dos blocos vinculados por meio de molas e no caso do eixo com dois discos montados e naqueles em um mesmo corpo plataforma sobre par de molas os dois movimentos possíveis ocorrem simultaneamente Para o caso do sistema com os blocos vinculados por molas não há como desacoplar seus movimentos sem remover o vínculo entre ambos a mola Então podemos ter Desacoplamento Se o vínculo entre os blocos a mola for removido o sistema deixa de existir e o que sobra são dois blocos com um grau de liberdade cada Sistema degenerado Se as molas ou forem removidas uma de cada vez o sistema continua com dois graus de liberdade mas com menor rigidez e passa a ser conhecido como sistema degenerado O mesmo raciocínio é válido para o sistema de eixo com dois discos se removermos a porção central do eixo teremos dois sistemas de eixo e disco com um grau de liberdade cada ou dois pêndulos de torção E ao remover as porções das extremidades recairemos novamente em um sistema degenerado só que torcional Y1Θ1 Y2Θ2 Y Θ L k2 k2 k1 k2 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 1975 Mas no caso da plataforma sobre molas é possível desacoplar os movimentos estabelecendo uma relação entre os parâmetros e O sistema continua sendo de dois graus de liberdade mas agora não haverá interferência da oscilação de um dos graus na oscilação do outro Observe o sistema de equações de movimento escrito em forma matricial Rotacione a tela O chamado acoplamento estático é revelado na diagonal secundária da matriz de rigidez do sistema e assim se quisermos desacoplar os movimentos é preciso que os elementos sejam nulos Então Rotacione a tela Ou Rotacione a tela Se essa condição for satisfeita os movimentos serão desacoplados Cabe agora decidir qual dos quatro parâmetros será definido a partir dos outros três Por exemplo podese definir e e a rigidez da mola e calcular Rotacione a tela Voltando à equação característica Rotacione a tela Com o desacoplamento temos Rotacione a tela Então Rotacione a tela Agora as raízes são a1 a2 k1 k2 0 m 0 0 J y θ k1 k2 a2k2 a1k1 a2k2 a1k1 a2 1k1 a2 2k2 y θ a2k2 a1k1 0 a2k2 a1k1 k1 k2 a2 a1 a1 a2 k1 k2 k2 a1 a2 k1 λ2 α γλ αγ m J β2 0 β a2k2 a1k1 m 0 λ2 α γλ αγ 0 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 2075 Rotacione a tela E as frequências naturais Rotacione a tela Rotacione a tela Calculando os autovetores Rotacione a tela Não há sentido em calcular as razões porque os movimentos estão agora desacoplados Uma perturbação na direção vertical não produz deslocamento angular da plataforma Nesse caso os vetores modais normalizados são Rotacione a tela Rotacione a tela Se a matriz rigidez é completa dizse que há acoplamento elástico Outro tipo de sistema é conhecido como semidefinido irrestrito ou ainda degenerado Um exemplo é o apresentado na próxima imagem Consiste em duas massas que podem se deslocar somente sob um plano horizontal vinculadas entre si por uma mola Podemos considerar que tal arranjo é equivalente ao de um automóvel tracionando um semirreboque preso a ele por um engate que apresenta alguma flexibilidade Exemplo de sistema degenerado equivalente a um sistema real As equações de movimento são λ1 α γ α γ2 2 α γ α γ 2 α λ2 α γ α γ2 2 α γ α γ 2 γ ω1 k1 k2 m ω2 a2 1k1 a2 2k2 J 0 k1 k2 mω2 0 0 a2 1k1 a2 2k2 Jω2 Y Θ Y Θ v1 1 0 v2 0 1 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 2175 Rotacione a tela Analogamente procedendo como já apresentado nos casos anteriores obtémse a equação característica desse sistema que é Rotacione a tela Ou ainda Rotacione a tela Se então Rotacione a tela Disso resulta que uma das frequências naturais de um sistema degenerado é nula Ou seja o sistema não está oscilando mas sim movendose como um todo sem haver movimento relativo entre as massas é o que chamamos de movimento de corpo rígido A outra frequência natural é Rotacione a tela Para calcular os modos de vibração é preciso resolver as equações Rotacione a tela Obtémse então Rotacione a tela Se a primeira frequência natural é nula temse que a razão entre os deslocamentos do primeiro modo é igual a 1 movimento de corpo rígido Quando m1 se desloca por d metros m2 o acompanha mantendo a distância m1x1 k x1 x2 0 m2x2 k x2 x1 0 λ2 m1m2 λk m1 m2 0 λ λ m1m2 k m1 m2 0 ω2 λ ω2 ω2 m1m2 k m1 m2 0 ω k m1 m2 m1m2 m1ω2 kX1 kX2 0 kX1 m2ω2 kX2 0 X21 X11 k m1ω2 1 k k k m2ω2 1 X22 X12 k m1ω2 2 k k k m2ω2 2 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 2275 Rotacione a tela Já o segundo modo é obtido substituindo a segunda frequência natural resultando em Rotacione a tela Isso mostra que o sistema vibra em oposição de fase Se se desloca por metros se desloca por metros em sentido oposto e há um nó no meio da mola ponto que permanece na mesma posição enquanto as massas oscilam Modos de vibrar de um sistema degenerado Modos de oscilação de um automóvel Neste vídeo você conhecerá o conceito de modos de vibração tomando como exemplo os automóveis de passeio Serão apresentados os modelos físicos e as equações para os modos normais de oscilação Automóveis são sistemas complexos que apresentam diversos graus de liberdade Dependendo do objetivo da análise de um carro de passeio podemos restringir o estudo a apenas alguns deles Assim quando o assunto é conforto dos ocupantes começamos por avaliar dois graus de liberdade O movimento vertical do centro de massa da carroceria X21 X11 k m1 0 k k k m2 0 k k 1 X22 X12 k m1k m1m2 m1m2 k 1 m1 m2 m2 1 m1 m2 1 m1 m2 m1 δ m2 m1m2δ 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 2375 O movimento angular da carroceria Esses são os dois primeiros modos normais de oscilação da carroceria Confira a imagem Movimentos predominantes da carroceria de um automóvel Na prática raramente esses movimentos ocorrem de maneira isolada Isso porque os valores dos parâmetros e se encontram em uma determinada faixa para cada grupo Acompanhe o exemplo de um carro de passeio médio A consequência do processo que acabamos de descrever é que as duas frequências naturais desse sistema modelado matematicamente da mesma forma que a plataforma sobre molas ficam no intervalo entre e Por serem valores próximos às vezes é difícil distinguir os modos normais de oscilação na prática Desde meados da década de 1920 os projetistas estudam esses movimentos para escolher as suspensões dos veículos a fim de proporcionar conforto aos ocupantes Sendo assim foram pensados dois modos comparados a seguir m J a1 a2 k1 k2 Um carro de passeio médio tem uma massa de aproximadamente e como o momento de inércia de sua carroceria é calculado a partir da massa o valor da razão é em média igual a 1200kg Jm 1 2 As distâncias das molas ao centro de massa além de dependerem uma da outra já que estão relacionadas à distribuição de peso do automóvel a1 a2 L Em carros de passeio considerase que a proporção varie entre e respectivamente quando o carro está vazio e quando o carro está cheio a1L 0 35 0 65 As rigidezes das molas de um carro de passeio médio valem entre e e geralmente as molas dianteiras são mais macias 10mil Nm 40mil Nm 0 8 2 0Hz 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 2475 Movimento desacoplado No início imaginavase que o desacoplamento dos movimentos era o ideal o chamado flat ride mas na prática isso se mostrou ruim porque os movimentos podem se tornar imprevisíveis Movimento acoplado No caso em que o movimento é acoplado os modos normais são definidos e assim é possível prever o comportamento do sistema quando sujeito a uma gama de frequências de excitação de base Usaremos o equacionamento da plataforma para avaliar como o veículo oscila com base em parâmetros comuns da engenharia automotiva Mas antes é preciso estabelecer um referencial conforme a próxima imagem em que é o eixo longitudinal o eixo vertical e o sentido positivo de é o antihorário Veículo e seu referencial Usando as equações do modelo da plataforma e sabendo que a rigidez de uma mola dianteira é e de uma mola traseira é Rotacione a tela Esses são valores usuais para carros de passeio Vamos calcular os modos de vibração do veículo Precisamos considerar Molas em paralelo Em primeiro lugar cada eixo tem duas molas uma de cada lado Em cada eixo há duas molas trabalhando em paralelo Rigidez Consequentemente a rigidez em cada eixo é a soma da rigidez da mola do lado direito e da rigidez da mola do lado esquerdo x y θ k1 k2 L 2 750 m a1 38 L 1 045 m a2 62 L 1 705 m k1 18 kNm k2 23 kNm m 1240 kg JCGZ 1937 5 kgm2 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 2575 Temos então as equações Rotacione a tela As matrizes de inércia e de rigidez respectivamente são Rotacione a tela Os autovalores são calculados a partir da equação característica Rotacione a tela As raízes são k11 2k1 2 18kNm 36kNm k22 2k2 2 23kNm 46kNm Ξ m 0 0 JCGz 1240 0 0 1937 5 K 103 k11 k22 a2k22 a1k11 a2k22 a1k11 a2 1k11 a2 2k22 36 46 1 705 46 1 045 36 1 705 46 1 045 36 1 0452 36 1 7052 46 82000 40810 40810 173036 05 α k11 k22 m 36 46 103 1240 66 13s2 β a2k22 a1k11 m 1 705 46 1 045 36 103 1240 32 91ms2 γ a2 1k11 a2 2k22 J 1 0452 36 1 7052 46 103 1937 5 89 31s2 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 2675 Rotacione a tela As frequências naturais são as raízes quadradas dos autovalores Rotacione a tela Rotacione a tela E as razões que indicam as posições dos centros de oscilação dos modos normais em relação ao CG são Rotacione a tela As próximas imagens mostram os modos de oscilação considerando que Modo de oscilação de um automóvel λ1 α γ α γ2 4 m J β2 2 66 13 89 31 66 13 89 31 4 1240 19375 32 912 2 51 50 λ2 α γ α γ2 4 m J β2 2 66 13 89 31 66 13 89 31 4 1240 19375 32 912 2 103 94 ω1 λ1 7 18rads ω2 λ2 10 19rads Y1 Θ1 a2k22 a1k11 k11 k22 mω2 1 β α ω2 1 32 91 66 13 51 50 2 24m Y2 Θ2 a2k22 a1k11 k11 k22 mω2 2 β α ω2 2 32 91 66 13 106 5 0 87m C1 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 2775 O centro corresponde ao primeiro modo com ou A carroceria oscila em torno de e o movimento é predominantemente de translação embora simultaneamente haja oscilação angular Modo de oscilação de um automóvel O centro corresponde ao segundo modo com ou A carroceria oscila em torno de e o movimento é predominantemente angular sendo acompanhado de oscilação vertical Além disso se um está dentro da região entre os eixos o outro está obrigatoriamente fora Vamos observar nas imagens anteriores Falta pouco para atingir seus objetivos Vamos praticar alguns conceitos C1 C1 ω1 7 18rads 1 14Hz C1 C2 C2 C2 ω2 10 19rads 1 62Hz C2 Questão 1 Calcule as razões do primeiro modo de vibração e do segundo modo de vibração do sistema de dois graus de liberdade compreendendo duas massas e três molas da imagem abaixo sabendo que e X1X2 m1 5kg m2 9kg k1 100Nm k2 135Nm k3 90Nm A 132 e 366 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 2875 Parabéns A alternativa D está correta 0A2020202020202020202020202020202020203Cp20class3Dc paragraph3EPara20calcular20as20razC3B5es20dos20modos20de20vibraC3A7C3A3o20C3A920preciso20antes20c paragraph20c table3E2424240A2020202020202020202020202020202020205Cbegin7Baligned7D0A20202020 k2205C5C0A202020202020202020202020202020202020 k22026205Cleftk22Bk35Cright0A2020202020202020202020202020202020205Cend7Barray7D5 135205C5C0A202020202020202020202020202020202020 1352026201352B900A2020202020202020202020202020202020205Cend7Barray7D5Cright5D3D 135205C5C0A202020202020202020202020202020202020 1352026202250A2020202020202020202020202020202020205Cend7Barray7D5Cright5D0A2020 paragraph3EC38920preciso20calcular20os20autovalores20da20matriz205CA203D5CXi5E7B 17D20K5C203A3C2Fp3E0A2020202020202020202020202020202020203Cp20class3Dc paragraph20c table3E2424240A202020202020202020202020202020202020A203D5Cleft5B5Cbegin7Barray7D7 135205C5C0A202020202020202020202020202020202020 1352026202250A2020202020202020202020202020202020205Cend7Barray7D5Cright5D3D5Cleft5 5Cfrac7B1357D7B57D205C5C0A202020202020202020202020202020202020 5Cfrac7B1357D7B97D2026205Cfrac7B2257D7B97D0A2020202020202020202020202020202020 27205C5C0A202020202020202020202020202020202020 15202620250A2020202020202020202020202020202020205Cend7Barray7D5Cright5D0A202020 paragraph3ECalculase20o20determinante205C7C20A20 5Clambda20I207C3D2005C3C2Fp3E0A2020202020202020202020202020202020203Cp20class paragraph20c table3E2424240A2020202020202020202020202020202020205Cleft7C5Cbegin7Barray7D7Bcc7D 5Clambda20262027205C5C0A2020202020202020202020202020202020201520262025 5Clambda0A2020202020202020202020202020202020205Cend7Barray7D5Cright7C3D0205CRightarro 5Clambda25 5Clambda15205Ctimes20273D00A2020202020202020202020202020202020202424243C2Fp3E paragraph3EA20equaC3A7C3A3o20caracterC3ADstica20C3A93A3C2Fp3E0A20202020202020202020 paragraph20ctable3E2424240A2020202020202020202020202020202020205Clambda5E2 72205Clambda2B7703D00A2020202020202020202020202020202020202424243C2Fp3E0A202 paragraph3EAs20raC3ADzes20sC3A3o3A3C2Fp3E0A202020202020202020202020202020202020 paragraph20c table3E2424240A2020202020202020202020202020202020205Cbegin7Baligned7D0A20202020 5Csqrt7B725E247707D7D7B27D3D5Cfrac7B725Csqrt7B21047D7D7B27D3D5Cfrac7B72 452C877D7B27D3D132C07205C5C0A20202020202020202020202020202020202026205Clambd 47707D7D7B27D3D5Cfrac7B722B5Csqrt7B21047D7D7B27D3D5Cfrac7B722B452C877D7B27D3D582C94 paragraph3EAs20frequC3AAncias20naturais20sC3A3o3A3C2Fp3E0A2020202020202020202020202020 paragraph20c table3E2424240A2020202020202020202020202020202020205Cbegin7Baligned7D0A20202020 paragraph3EE20as20razC3B5es20sC3A3o20calculadas20pelas20expressC3B5es3A3C2Fp3E0A2020202020 paragraph20c table3E2424240A2020202020202020202020202020202020205Cbegin7Baligned7D0A20202020 5Comega15E220m17D3D5Cfrac7B1357D7B1002B135132C07205Ctimes2057D3D02C79205C5C0A20202 5Comega25E220m17D3D5Cfrac7B1357D7B1002B135582C94205Ctimes2057D3D 22C260A2020202020202020202020202020202020205Cend7Baligned7D0A2020202020202020 B 044 e 126 C 054 e 142 D 079 e 226 E 361 e 767 Questão 2 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 2975 Parabéns A alternativa A está correta 0A2020202020202020202020202020202020203Cp20class3Dc paragraph3EEsse20C3A920um20sistema20degenerado2C20e20por20isso20uma20das20frequC3AAncias20naturais20 paragraph20c table3E2424240A202020202020202020202020202020202020f13D00A2020202020202020 paragraph20c table3E2424240A202020202020202020202020202020202020f13D00A2020202020202020 paragraph20c table3E2424240A202020202020202020202020202020202020f23D5Cfrac7B17D7B2205Cpi7D 25007D7D3D5Cfrac7B17D7B2205Cpi7D205Csqrt7B367D3D5Cfrac7B37D7B5Cpi7D20Hz0A20202020 Um veículo trator de massa igual a puxa um implemento agrícola cuja massa é igual a O engate entre ambos é elástico e sua constante de rigidez é igual a Calcule as frequências naturais de oscilação desse sistema representado na imagem abaixo em hertz m1 5000kg m2 2500kg k 60kNm A 0 e 3π B 0 e 6π C 1π e 3π D 1π e 3π E 6π e 9π 21112023 1529 Movimentos vibratérios 2 Vibracoes forcadas em sistemas nao amortecidos Ao final deste modulo vocé sera capaz de reconhecer 0 comportamento dos sistemas conservativos sujeitos a foramentos externos e a excitacoes de base Forca vibracional externa aplicada a sistemas nao amortecidos Neste video vocé conhecera o comportamento dos sistemas conservativos sujeitos a forgamentos externos com dois graus de liberdade ea excitagdes de base com uma ou duas entradas Para assistir a um video sobre 0 assunto acesse a versdo online deste contetido v Vibracoes forgadas em sistemas com dois graus de liberdade Neste video vocé compreendera o comportamento de um sistema sujeito a vibragdes forgadas Sera apresentado o forgamento em um sistema composto por duas massas e trés molas Para assistir a um video sobre 0 assunto acesse a O Db verso online deste conteudo Até agora examinamos casos de vibragées livres em sistemas de dois graus de liberdade Vamos ver agora 0 comportamento de um sistema sujeito a vibragdes forgadas Nesse caso pode haver forgamento em um so corpo ou em ambos simultaneamente httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07 140indexhtmlimprimir 3075 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 3175 Vamos primeiramente ver o caso do sistema da imagem a seguir composto por duas massas e três molas com uma força harmônica aplicada na massa Sistema de dois graus de liberdade com duas massas e três molas As equações de movimento são Rotacione a tela As soluções para cada um dos graus de liberdade são Rotacione a tela Escritas em forma matricial as equações são Rotacione a tela O determinante da matriz é Rotacione a tela m1 m1x1 k1 2 k1 2 k2x1 k2x2 F0 sen ωt m2x2 k2x1 k1 2 k1 2 k2x2 0 x1t X1 sen ωt x1t ωX1 cos ωt x1t ω2X1 sen ωt x2t X2 sen ωt x2t ωX2 cos ωt x2t ω2X2 sen ωt ω2m1 k1 k2 k2 k2 ω2m2 k2 X1 X2 F0 0 Dω ω4 k1 m1 k2 m1 m2 m1m2 ω2 k1k2 m1m2 ω2m1 k1 k2 k2 k2 ω2m2 k2 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 3275 Invertese a matriz para obter a reposta do sistema Rotacione a tela A equação característica do sistema que fornece as frequências naturais é Rotacione a tela Os valores das amplitudes e em função da frequência de excitação são Rotacione a tela Atribuindo valores aos parâmetros tais que e temse que as amplitudes em regime permanente calculadas em função da frequência de excitação e da magnitude da força de excitação são Observe que o denominador será nulo quando a frequência de excitação for igual a uma das frequências naturais do sistema lembrese de que as raízes da equação característica são o quadrado das frequências naturais Nesse caso ou e Supondo que para esse conjunto de parâmetros queirase saber qual é o deslocamento de cada massa em relação à sua respectiva posição de equilíbrio para por exemplo e Então Rotacione a tela Como no domínio do tempo o valor do deslocamento de cada massa depende também da frequência de excitação recomendase analisar o comportamento do sistema no domínio da frequência Assim colocamse os valores das amplitudes e em função da frequência de excitação em um gráfico 1 X1 X2 ω2m1 k1 k2 k2 k2 ω2m2 k2 F0 0 λ2 k1 m1 k2 m1 m2 m1m2 λ k1k2 m1m2 0 X1 X2 ω X1 k2 ω2m2 ω4 k1 m1 k2 m1m2 m1m2 ω2 k1k2 m1m2 F0 X2 k2 ω4 k1 m1 k2 m1m2 m1m2 ω2 k1k2 m1m2 F0 m1 5kg m2 3kg k1 140Nm k2 90Nm ω F0 ω1 3 67rads eω2 7 91rads f1 0 58Hz f2 1 26Hz F0 25N f 1Hz t 1 25s f 1Hz ω 2πrads X1 90 32π2 2π4 762π2 840 25 28 44 601 81 25 1 18m X2 90 2π4 762π2 840 25 90 601 81 25 3 74m x1t X1 sen ωt 1 18 sen2π 1 25 1 18m x2t X2 sen ωt 3 74 sen2π 1 25 3 74m X1 X2 ω 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 3375 Gráfico Resposta no domínio da frequência do sistema de dois graus de liberdade com duas massas e duas molas Considerando o gráfico anterior representativo do comportamento da amplitude de oscilação de cada massa observe Ressonância À medida que a frequência da força harmônica aumenta até antes da frequência fundamental as massas oscilam em fase até atingir a ressonância quando as curvas apresentam comportamento assintótico indicando que em teoria os valores das amplitudes de oscilação tendem a infinito Danos Essa é a condição matemática em que o denominador das expressões de e são nulos mas na prática sempre há dissipação de energia e com isso a amplitude não é infinita porém assume valores tais que podem levar a danos severos Entre as duas frequências naturais e a massa gradativamente passa a oscilar em oposição de fase em relação à massa à medida que o valor da frequência de excitação se afasta de e se aproxima de na qual novamente ocorre o comportamento assintótico em teoria oscilar até infinito A partir do valor de as massas passam a oscilar cada vez menos até que a vibração se torna imperceptível Fisicamente isso significa que o sistema não é sensível a forçamentos que ocorrem em frequências muito acima de Se fosse possível tocar em cada uma das massas seria possível sentir que vibram a uma frequência alta mas estão praticamente imóveis Observase ainda a situação em que a massa não oscila Voltando à expressão do cálculo de Rotacione a tela Para que a expressão seja nula o numerador deve ser nulo o que nos leva a Rotacione a tela X1 X2 fn1 fn2 m2 m1 fn1 fn2 fn2 fn2 m1 X1 X1 k2 ω2m2 ω4 k1 m1 k2 m1m2 m1m2 ω2 k1k2 m1m2 F0 k2 ω2m2 ω k2 m2 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 3475 Nesse caso quando se quer reduzir a oscilação da massa devese escolher os parâmetros e para coincidir com uma frequência de excitação desejada Esse é o princípio do absorvedor de vibração A equipe de Fórmula 1 Renault usou esse princípio nas suspensões dianteira e traseira de seus carros em 2006 o modelo R26 para reduzir as oscilações e tornálos mais estáveis como visto na imagem a seguir Carro Renault R26 da F1 Absorvedores dinâmicos de vibração Neste vídeo você compreenderá o uso de absorvedores dinâmicos de vibração Serão realizadas as análises física e matemática de um gerador sobre plataforma com duas molas e uma massa desbalanceadora Sistemas harmônicos compostos por molas e massas podem ser usados para absorver vibrações reduzindo oscilações de massas Vamos usar o exemplo de um gerador montado em uma plataforma sobre duas molas em que uma massa desbalanceadora produz uma força harmônica de magnitude conforme imagem a seguir Supondo que esse gerador precise funcionar a para produzir a energia elétrica necessária Se nessa frequência de funcionamento o gerador produzir uma vibração sobre a base onde está instalado que venha a comprometer o sistema é preciso de alguma forma absorver essa vibração Gerador sem absorvedor de vibração à esquerda e com absorvedor de vibração de massa e mola de rigidez à direita Veja que antes tínhamos um sistema de um grau de liberdade e agora o sistema passou a ter dois graus de liberdade Se o movimento de 720 rpm é que produz as oscilações vamos converter para e para isso basta dividir o valor por 60 Temse então Ou seja é preciso encontrar valores para e tais que m1 m2 k2 F0 0 5N 720rpm m2 k2 Hz 12Hz m2 k2 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 3575 Rotacione a tela Ou seja Rotacione a tela Voltando à expressão da amplitude de movimento da massa vamos isolar de um lado da equação a própria amplitude a magnitude da força e a constante de rigidez da mola equivalente que sustenta o gerador e sua base O objetivo é adimensionalizar esta expressão Rotacione a tela A expressão entre colchetes é agora adimensional e representa o fator de amplificação Rotacione a tela Manipulando a expressão mais um pouco chegase a Rotacione a tela Adotando e a frequência natural do sistema composto pelo gerador apoiado sobre molas sem o absorvedor é igual a Rotacione a tela Ou Rotacione a tela Isso mostra que a frequência de operação exigida para o gerador está bem próxima de sua frequência natural É então necessário adotar um absorvedor de vibração para evitar oscilações de amplitude elevada k2 m2 2π 12 75 4rads k2 m2 5685 16rad2s2 m1 X1 F0 k1 X1 F0 k2 ω2m2 ω4 k1 m1 k2 m1m2 m1m2 ω2 k1k2 m1m2 X1k1 F0 k1 k2 ω2m2 ω4 k1 m1 k2 m1m2 m1m2 ω2 k1k2 m1m2 X1k1 F0 1 ω2 m2 k2 1 ω2 m2 k2 1 k2 k1 ω2 m1 k1 k2 k1 m1 6 25kg k1 32 4kNm ω11 k1 m1 32 4 103 6 25 72rads f11 ω11 2π 72 2π 11 5Hz 690rpm 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 3675 Mas temos duas incógnitas que são e e apenas uma equação Sabese que quando a amplitude é nula mas a massa do absorvedor é submetida a uma amplitude igual a Rotacione a tela O sistema absorvedor exerce uma força igual e contrária à força perturbadora Rotacione a tela Nessas condições seus parâmetros dependem do valor admissível da amplitude de seu movimento Ou seja o valor de é limitado pela equipe de projetistas deve ser um dado de projeto Então vamos supor que nesse projeto a massa do absorvedor não possa exceder uma oscilação de por questões físicas Assim Rotacione a tela Se o absorvedor é usado para reduzir a amplitude de vibração na frequência em que o gerador deve funcionar 720 rpm ou 754 rads sua massa é Rotacione a tela O sistema tem agora dois graus de liberdade e suas frequências naturais passaram a ser Rotacione a tela O resultado pode ser representado em um gráfico do fator de amplificação em função da frequência de excitação conforme próxima imagem A frequência natural do sistema sem absorvedor 1 grau de liberdade cujo comportamento é representado pela curva em azul é igual a a frequência de funcionamento é igual a 754 rads as frequências naturais do sistema com absorvedor 2 graus de liberdade cujo comportamento é representado pela curva em cor de laranja são e Observase que as curvas apresentam comportamento assintótico quando a frequência de excitação se aproxima da frequência natural tanto no sistema sem absorvedor quanto no sistema com absorvedor Na situação em que a amplitude de oscilação do gerador é nula m2 k2 k2m2 5685 16 ω k2m2 X1 X2 F0 k2 m2 k2 k2X2 ω2m2X2 F0 X2 X2 X2 2 5mm k2 F0 X2 0 5 2 5 103 200Nm m2 k2 ω2 k2 75 42 200 5685 16 0 035kg ou 35g ω4 k1 m1 k2 m1 m2 m1m2 ω2 k1k2 m1m2 0 ω4 32400 6 25 200 6 25 0 035 6 25 0 035 ω2 32400 200 6 25 0 035 0 ω4 10930 3ω2 29622857 1 0 ω1 70 5rads ω2 77 2rads 72rads 70 5rads 77 2rads ω k2m2 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 3775 Comparação da variação do fator de amplificação em função da frequência de excitação entre o sistema sem azul e o com laranja absorvedor de vibração O absorvedor de vibração não é amortecedor porque não dissipa energia e é efetivo em apenas uma frequência Seus parâmetros são escolhidos para anular a oscilação na frequência que seja mais relevante na amplitude de oscilação do sistema Quando há oscilação do sistema e à medida que ou ocorrerá ressonância como se pode constatar ao examinar o gráfico da imagem anterior Sistema sujeito à excitação de base com uma entrada Neste vídeo você compreenderá o comportamento do oscilador harmônico de dois graus de liberdade sujeito à excitação de base com uma entrada e as relações matemáticas para determinar as frequências naturais Em alguns casos é a excitação de base que produzirá efeitos indesejados em um sistema Vejamos o caso do oscilador harmônico representado na imagem que segue X1k1F0 ω ω k2m2 ω ωn1 ω ωn2 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 3875 Oscilador harmônico de dois graus de liberdade sujeito à excitação de base Do diagrama de corpo livre do sistema temse as duas equações de movimento Rotacione a tela Escrito em forma matricial temse Rotacione a tela A solução geral do deslocamento de cada massa é Rotacione a tela Sabendo que a excitação de base harmônica é substituindo e arrumando os termos temse Rotacione a tela Ou ainda chamando a matriz de chegase à equação do cálculo das amplitudes yo m1x1t k1x1t k1x2t m2x2t k1x1t k1x2t k2x2t k2y0t m1 0 0 m1 x1t x2t k1 k1 k1 k1 k2 x1t x2t 0 k2y0t x1t X1 sen ωt x1t ωX1 cos ωt x1t ω2X1 sen ωt x2t X2 sen ωt x2t ωX2 cos ωt x2t ω2X2 sen ωt y0t Y0 sen ωt ω2m1 k1 k1 k1 ω2m2 k1 k2 X1 X2 0 k2Y0 Z 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 3975 Rotacione a tela A equação característica desse sistema é o determinante da matriz Rotacione a tela As expressões das amplitudes são Rotacione a tela Conseguese extrair as expressões do fator de amplificação para cada uma das massas Rotacione a tela Supondo que As frequências naturais são calculadas a partir da equação característica Rotacione a tela Como temse Rotacione a tela Z 1 X1 X2 0 k2Y0 Z detZ Z m1m2ω4 k1 k2m1 k1m2ω2 k1k2 X1 k1k2 Z Y0 X2 m1ω2 k1k2 Z Y0 X1 Y0 k1k2 Z X2 Y0 m1ω2 k1k2 Z m1 3 5kg m2 1 2kg k1 42Nm k2 56Nm m1m2λ2 k1 k2m1 k1m2λ k1k2 0 3 51 2λ2 42 563 5 421 2λ 4256 0 4 2λ2 393 4λ 2352 0 ωn λ ωn1 2 53rads 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 4075 Rotacione a tela E as amplitudes em função da frequência de excitação após substituição dos valores dos parâmetros são Rotacione a tela Aproveitemos esse sistema e acrescentemos um parâmetro a mais a velocidade Para isso é preciso recordar o conceito de comprimento de onda uma vez que agora a velocidade de propagação da onda será usada nesse modelo O sistema se desloca a uma velocidade constante e igual a confira na imagem Oscilador harmônico de dois graus de liberdade sujeito à excitação de base deslocandose com velocidade longitudinal constante Em uma onda a frequência e a velocidade estão relacionadas pelo comprimento de onda que para não confundirmos com os autovalores usaremos a variável Assim temos que Rotacione a tela Suponha que em uma mudança radical do ponto de vista o sistema esteja parado e o piso sobre o qual se desloca é que esteja em movimento como alguém que anda sobre uma esteira Podese escrever a expressão da excitação de base em função da velocidade Rotacione a tela ωn2 9 34rads X1 Y0 2352 4 2ω4 393 4ω2 2352 X2 Y0 196ω2 2352 4 2ω4 393 4ω2 2352 vx yo vx Λ vx Λf Λ ω 2π ms ω 2π Λ vxrads 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 4175 Rotacione a tela Se a excitação de base é senoidal o comprimento de onda é a distância entre dois picos ou vales consecutivos Considere então Rotacione a tela Nesse caso conseguese perceber a influência da velocidade de deslocamento do sistema Além disso se o valor de é conhecido uma pista com ondulações por exemplo conseguese verificar como o sistema reage quando a velocidade de passagem aumenta ou diminui Isso significa que pode haver ao menos uma velocidade que produza ressonância no sistema caso o valor da frequência a ela associada seja igual a uma das frequências naturais Rotacione a tela Rotacione a tela Como são dois graus de liberdade há dois valores de que produzem ressonância no sistema para um mesmo valor de Os modos de vibração são Rotacione a tela Substituindo os valores Rotacione a tela Consideramos então que a Frequência natural mais baixa Com o valor de 253 rads é aquela em que na condição de ressonância a massa irá vibrar mais para cada amplitude a massa oscila com amplitude Frequência natural mais alta y0t Y0 sen ωt Y0 sen 2π Λ vxt Λ vx1 Λ 2π ωn1ms vx2 Λ 2π ωn2ms vx Λ v1 1 k1 k2 m2ω2 n1 X1 v2 1 k1 k2 m2ω2 n2 X1 v1 1 42 56 1 2 2 532 X1 X1 v2 1 42 56 1 2 9 342 X1 X1 1 0 47 1 6 28 m1 X1 m2 0 47X1 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 4275 Com o valor de 934 rads é aquela em que a massa oscilará com amplitude maior do que e em oposição de fase para cada amplitude oscila no sentido oposto Relacionando com a velocidade temse um fenômeno físico Quando esse sistema entra em um piso de perfil senoidal e comprimento constante e conhecido Se A massa oscila mais que em fase Se A massa oscila mais que em oposição de fase Se Ambas as massas oscilam em uma combinação dos dois modos normais De a temos que A amplitude de oscilação da massa progressivamente diminui enquanto a de progressivamente aumenta e simultaneamente defasa a de À medida que o valor de aproxima do limite a amplitude de oscilação de volta a aumentar porque está oscilando mais e passa a transmitir mais energia à Ultrapassado o valor de as amplitudes de ambas as massas diminuem porque a sensibilidade do sistema é menor em frequências mais altas Sistema sujeito à excitação de base com duas entradas Neste vídeo você compreenderá o comportamento do oscilador harmônico de dois graus de liberdade sujeito à excitação de base com duas entradas Será utilizado um automóvel trafegando em uma estrada irregular para a aplicação das relações matemáticas Em alguns sistemas oscilatórios há mais de um ponto de entrada de excitação de base devido à sua construção mecânica ou às suas características físicas Alguns sistemas são sujeitos a excitações de base diferentes se seus pontos de acoplamento estão sobre estruturas diferentes Outros estão sujeitos à mesma excitação de base porém devido às suas características físicas o mesmo sinal chega defasado nos pontos de entrada O exemplo que melhor ilustra essa última situação é o de um automóvel trafegando em uma estrada irregular As ondulações da estrada são transmitidas para os pneus e desses para suas respectivas suspensões Por fim essas transmitem as ondulações para a carroceria que oscila tanto em translação quanto em rotação Confira na imagem m2 m1 X1 m2 6 28X1 Λ vx 0 40Λms m1 m2 X2 0 47X1 vx 1 49Λms m2 m1 X2 6 28X1 0 40Λ vx 1 49Λ 0 40Λ 1 49Λ m1 m2 m1 1 49Λ m1 m2 m1 1 49Λ 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 4375 Relações de causalidade em um automóvel As suspensões atenuam as oscilações provenientes da estrada irregular e com isso os ocupantes sofrem menos Para melhor entendermos como tais excitações de base afetam o sistema vamos considerar o sistema não amortecido Recorreremos então ao modelo simplificado da plataforma sobre duas molas E por hipótese a estrada representada na imagem a seguir apresenta um perfil senoidal ou seja Rotacione a tela Observe na imagem Automóvel trafegando sobre estrada com ondulações Esse sistema tem uma particularidade a de possuir duas entradas que não são independentes a mesma excitação de base ocorre em cada uma das rodas mas dependendo do período da função cada roda é sujeita a um valor diferente Além disso nesse sistema é preciso conhecer a velocidade do veículo porque dela dependem os sinais de entrada em cada roda Por hipótese vamos considerar a velocidade do veículo como sendo constante Então na roda dianteira temos e na roda traseira sendo que é o intervalo de tempo transcorrido entre a passagem da roda dianteira por um determinado ponto e a passagem da roda traseira por esse mesmo ponto Automóvel trafegando sobre estrada com ondulações sua posição tomada em relação ao ponto de referência A velocidade do automóvel é constante e a roda traseira percorre metros a chamada distância entre eixos até chegar ao ponto de referência durante segundos ou seja Assim temse a relação entre a velocidade do veículo e a excitação de base y0t Y0 sen ωt y0t y0t y0t Δt Δt vx L Δt L vxΔt 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 4475 Na roda dianteira Na roda traseira O sistema de equações escrito em forma matricial é Rotacione a tela Observe que a entrada é uma só porém defasada no tempo Rotacione a tela A velocidade do automóvel está relacionada com o perfil da estrada por meio da equação Rotacione a tela Assim quanto maior a velocidade do veículo maior será a frequência de oscilação do sinal de entrada o que produz efeitos diferentes no carro Isso pode ser esclarecido observando as expressões dos sinais aplicados nas rodas dianteiras e traseiras Rotacione a tela Sendo que o termo representa a defasagem entre os eixos O sistema pode ser reescrito para ser resolvido no domínio da frequência Suponha Rotacione a tela Assim temse y01 y0t y02 y0t Δt y0 t Lvx m 0 0 J yCG θ k1 k2 a2k2 a1k1 a2k2 a1k1 a2 1k1 a2 2k2 yCG θ k1 k2 a1k1 a2k2 y01 y02 m 0 0 J yCG θ k1 k2 a2k2 a1k1 a2k2 a1k1 a2 1k1 a2 2k2 yCG θ k1 k2 a1k1 a2k2 y0t y0 t L vx y0t Y0 sen 2π Λ vxt y01t Y0 sen 2π Λ vxt y02t Y0 sen 2π Λ vxt Δt Y0 sen 2π Λ vx t L vx Y0 sen 2π vx Λ t 2π L Λ 2πLΛ yCGt Y sen ωt θt O sen ωt 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 4575 Rotacione a tela Fazse então Rotacione a tela A partir disso temos Rotacione a tela Resolvendo a inversa e multiplicando as matrizes chegase a Rotacione a tela Sendo Rotacione a tela Supondo que ou seja a distância entre duas cristas consecutivas é igual à distância entre eixos do carro temse Rotacione a tela Nesse caso é como se o veículo estivesse sujeito a excitações de base iguais Rotacione a tela Obtêmse as expressões das amplitudes e Rotacione a tela k1 k2 mω2 a2k2 a1k1 a2k2 a1k1 a2 1k1 a2 2k2 Jω2 Y Θ k1 k2 a1k1 a2k2 y01 y02 Z k1 k2 mω2 a2k2 a1k1 a2k2 a1k1 a2 1k1 a2 2k2 Jω2 Z 1 Y Θ k1 k2 a1k1 a2k2 y01 y02 1 Z Y Θ k1k2a2L k1Jω2 k1k2a1L k2Jω2 k1k2L a1k1mω2 k1k2L a2k2mω2 y01 y02 Z Jmω4 k1 k2J m a2 1k1 a2 2k2ω2 k1k2L2 LΛ 1 y02t Y0 sen 2π vx Λ t 2π Y0 sen 2π vx Λ t y01t Y0 sen ωt 1 Z Y Θ k1k2a2L k1Jω2 k1k2a1L k2Jω2 k1k2L a1k1mω2 k1k2L a2k2mω2 Y0 Y0 Y Θ Y Y0 k1k2L2 Jω2 k1 k2 Z 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 4675 Rotacione a tela Se agora por exemplo temse Rotacione a tela Ou seja uma excitação de base age em sentido inverso ao da outra Daí Rotacione a tela Rotacione a tela Perceba que há duas expressões de e de para o mesmo sistema Isso mostra que o comportamento do carro muda ao passar com a mesma velocidade por estradas diferentes Carro passando por uma estrada Carro passando por outra estrada com a mesma velocidade Isso acontece porque a frequência de excitação de base depende tanto do perfil do piso representado pelo comprimento de onda quanto da velocidade do veículo Θ Y0 mω2 a2k2 a1k1 Z Λ 2L y02t Y0 sen 2π vx Λ t π Y0 sen 2π vx Λ t y01t Y0 sen ωt 1 Z Y Θ k1k2a2L k1Jω2 k1k2a1L k2Jω2 k1k2L a1k1mω2 k1k2L a2k2mω2 Y0 Y0 Y Y0 k1k2 a2 a1L Jω2 k2 k1 Z Θ Y0 a1k1 a2k2mω2 2k1k2L Z Y Y0 ΘY0 Λ 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 4775 Rotacione a tela Então para temse para temse Comparando se a frequência de excitação for a mesma para os dois casos e ambas também iguais a uma das frequências naturais do sistema então o carro terá que passar por uma estrada de perfil com o dobro da velocidade que passaria por uma estrada de perfil para apresentar ressonância Análise do comportamento do automóvel Neste vídeo será analisado o comportamento do automóvel em função do perfil da estrada Será avaliado o comportamento da carroceria quanto aos sentidos dos movimentos à medida que a velocidade varia A dependência da velocidade e do perfil da estrada faz com que o automóvel se comporte de maneiras distintas porque a frequência de excitação de base depende desses dois parâmetros Você deve perceber isso quando trafega por uma estrada muito irregular em baixa velocidade e depois em velocidade alta o suficiente para não causar avarias ou perder o controle do carro Entenda a seguir Baixa velocidade Quando você trafega em baixa velocidade por uma estrada de perfil senoidal a carroceria oscila bastante tanto na direção quanto em ângulo Alta velocidade Mas se passar pela mesma estrada em velocidade mais alta observará que a carroceria vibra mas as amplitudes das oscilações dos dois graus de liberdade são menores Isso acontece porque a suspensão atua como um filtro de frequências deixando passar as mais baixas e retendo as mais altas Ainda o desenvolvimento do sistema automóvel ao longo dos anos levou a valores de parâmetros que resultam em frequências naturais situadas no intervalo entre e para esses graus de liberdade y e Consideremos os seguintes valores ω 2π Λ vx Λ L ωL 2πLvxL Λ 2L ω2L πLvx2L ωL ω2L ωn1 Λ 2L Λ L y θ 1Hz 2Hz θ 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 4875 Esse sistema tem duas frequências naturais Se o perfil da estrada é a velocidade de passagem que produz ressonância na frequência fundamental é Rotacione a tela E na segunda frequência natural temse Rotacione a tela Mas se o perfil da estrada é as velocidades são respectivamente Rotacione a tela Vamos representar o comportamento em gráficos Na imagem a seguir temos o caso em que Até a velocidade correspondente à frequência natural fundamental do sistema os movimentos em y e em ocorrem em oposição de fase enquanto oscila na direção y em sentido positivo oscila no sentido negativo do ângulo e viceversa mas à medida que a velocidade aumenta gradativamente a translação entra em fase com a rotação assim permanecendo mesmo após a transição pela segunda ressonância em L 2 750m a1 1 045m a2 1 705m k1 36kNm k2 46kNm m 1240kg JCGZ 1938kgm2 a1 1 045m f1 1 11Hz f2 1 64Hz Λ L vx1 Λf1 2 750 1 11 3 05ms 11kmh vx2 Λf2 2 750 1 64 4 51ms 16 2kmh Λ 2L vx1 2Λf1 2 2 750 1 11 6 10ms 22kmh vx2 2Λf1 2 2 750 1 64 9 02ms 32 4kmh Λ L vx1 θ θ vx2 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 4975 Comportamento do automóvel para Esta tabela sintetiza o comportamento da carroceria quanto aos sentidos dos movimentos à medida que a velocidade de passagem aumenta Nas velocidades e ocorrem as transições Velocidade Direção y Ângulo Tabela Alternância de movimentos da carroceria em função da velocidade de passagem para Ricardo Teixeira da Costa Neto Assim de acordo com a tabela Quando a carroceira sobe na direção inclina para baixo e quando desce simultaneamente inclina para cima enquanto À medida que a velocidade aumenta ainda ocorre essa alternância mas agora em sentidos opostos desceinclina para cima ou sobeinclina para baixo Até que progressivamente a translação passa a acompanhar a rotação sobeinclina para cima ou desceinclina para baixo Esse padrão de comportamento se mantém após a segunda velocidade de transição Já quando o perfil da estrada é a princípio o comportamento é o mesmo do caso anterior enquanto Mas depois da velocidade há diferença porque agora é a rotação que progressivamente passa a entrar em fase com a translação Confira na imagem Comportamento do automóvel para Λ L vx1 vx2 vx vx1 vx1 vx1 vx vx2 vx2 vx vx2 θ Λ L y vx vx1 vx2 Λ 2L vx vx1 vx1 Λ 2L 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 5075 A exemplo do caso anterior a tabela a seguir sintetiza o comportamento da carroceria quanto aos sentidos dos movimentos à medida que a velocidade de passagem aumenta Nas velocidades e ocorrem as transições Velocidade Direção y Ângulo Tabela Alternância de movimentos da carroceria em função da velocidade de passagem para Ricardo Teixeira da Costa Neto Agora de acordo com a tabela Quando a carroceira sobe na direção inclina para baixo e quando desce simultaneamente inclina para cima enquanto não houve mudança em relação ao caso anterior Contudo agora à medida que a velocidade aumenta ainda ocorre essa alternância novamente em sentidos opostos desceinclina para cima ou sobeinclina para baixo Até que progressivamente a rotação passa a acompanhar a translação sobeinclina para cima ou desceinclina para baixo Esse padrão de comportamento se mantém após a segunda velocidade de transição Falta pouco para atingir seus objetivos Vamos praticar alguns conceitos vx1 vx2 vx vx1 vx1 vx1 vx vx2 vx2 vx vx2 θ Λ 2L y vx vx1 vx2 Questão 1 O absorvedor dinâmico de vibração é um recurso utilizado para A amortecer as oscilações em uma faixa de frequência abaixo da frequência fundamental do sistema B amortecer as oscilações em uma faixa de frequência acima da frequência fundamental do sistema C amortecer as oscilações em uma faixa de frequência acima da frequência fundamental e abaixo da segunda frequência do sistema 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 5175 Parabéns A alternativa D está correta 0A2020202020202020202020202020202020203Cp20class3Dc paragraph3EO20absorvedor20dinC3A2mico20de20vibraC3A7C3A3o20nC3A3o20C3A920um20amortecedor2C20p D anular a oscilação do sistema em uma frequência de operação predefinida E anular a oscilação do sistema em uma ampla faixa de frequências Questão 2 O oscilador harmônico com dois graus de liberdade da imagem abaixo é submetido a uma excitação de base senoidal de comprimento de onda Sendo qual a fração de amplitudes Λ 8m m1 320kg m2 45kg k1 18000Nm k2 160000Nm vx 20ms X1X2 A 06 B 03 21112023 1529 Movimentos vibratérios Parabéns A alternativa B esta correta 0A2020202020202020202020202020202020203Cp20class3Dc paragraph3EAs20expressC3B5es20usadas20para20020C0C3A1Iculo20da20fraC3A7C3A3020de20amplitudes20sC3 paragraph20c table3E2424240A2020202020202020202020202020202020205Cbegin7Baligned7D0A20202020 M1205Comega5E27D205C5C0A20202020202020202020202020202020202026205Comega3D5 paragraph3ESubstituindo200s20valores2C20tem SE3A3C2FP3E0A2020202020202020202020202020202020203Cp20class3Dcparagraph20c table3E2424240A2020202020202020202020202020202020205Cbegin7Bgathered7D0A2020202 3205205Cpi5E27D3D5Cfrac7B180002B160000455205Cpi5E27D7B180007D3D 02C30A2020202020202020202020202020202020205Cend7Bgathered7D0A202020202020202 by a Pt 7 A ace aN Ree ry Ss we Ao final deste modulo vocé sera capaz de reconhecer o comportamento dos sistemas oscilatorios de dois graus de liberdade amortecidos e os absorvedores de vibracoes dessa categoria Neste video serao apresentados sistemas oscilatérios amortecido destacandose os amortecimentos em sistemas acoplados e torcional viscoso e o absorvedor dinamico com amortecimento httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07 140indexhtmlimprimir 5275 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 5375 Sistemas com amortecimento Neste vídeo serão apresentados os conceitos básicos de vibrações amortecidas os modelos físicos e as principais expressões matemáticas Examinamos casos de vibrações livres em sistemas de dois graus de liberdade sem amortecimento seja viscoso ou por atrito Veremos então como esses sistemas se comportam quando há dissipação por amortecimento viscoso Assumese agora que o sistema com duas massas e três molas tenha um amortecedor viscoso montado junto a cada mola formando um par sujeito ao mesmo deslocamento conforme a imagem a seguir Sistema de dois graus de liberdade com duas massas e três pares de conjunto de mola e amortecedor viscoso As equações de movimento desse sistema obtidas com o auxílio de um diagrama de corpo livre são Rotacione a tela Os termos em destaque são as forças de amortecimento que agem no sistema Em forma matricial temse Rotacione a tela A matriz em destaque é a matriz de amortecimento do sistema Rotacione a tela m1x1t b1 b2x1t b2x2t k1 k2x1t k2x2t 0 m2x2t b2x1t b2 b3x2t k2x1t k2 k3x2t 0 m1 0 0 m2 x1 x2 b1 b2 b2 b2 b2 b3 x1 x2 k1 k2 k2 k2 k2 k3 x1 x2 0 0 B b1 b2 b2 b2 b2 b3 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 5475 Rotacione a tela Essa matriz também mostra que há acoplamento entre os graus de liberdade porque sua diagonal secundária não é nula e assim o movimento oscilatório de um bloco influenciará o do bloco vizinho Os sistemas com dois ou mais graus de liberdade com amortecimento não podem ser definidos da mesma forma que os osciladores de um grau de liberdade Por exemplo o modo de calcular a fração de amortecimento não é o mesmo Nos sistemas de um grau de liberdade amortecidos por atrito viscoso a fração de amortecimento é calculada a partir do amortecimento crítico que é aquele valor do amortecimento viscoso a partir do qual o sistema harmônico deixa de oscilar Por sua vez o cálculo de vem da equação de movimento do oscilador harmônico em vibração livre Rotacione a tela Por hipótese vimos que o comportamento observado do movimento da massa nos mostra que seu deslocamento em função do tempo pode ser interpretado como uma função exponencial Rotacione a tela Sendo a amplitude e uma constante Derivando a expressão de uma e duas vezes e substituindo na equação de movimento temse Rotacione a tela Agrupando os termos da equação temse Rotacione a tela Como nem e nem a função são nulos resta resolver a equação do segundo grau entre colchetes Rotacione a tela Agora vamos examinar o que acontece com o radicando ζ ζ bcr bcr mxt bxt kxt 0 xt xt Xest X s xt xt Xest xt sXest xt sXest xt s2Xest mxt bxt kxt 0 m s2Xest b sXest k Xest 0 Xest ms2 bs k 0 X est ms2 bs k 0 s2 b m s k m 0 s1 1 2 b m b m 2 4 k m s2 1 2 b m b m 2 4 k m 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 5575 Rotacione a tela Se o radicando é positivo e as raízes e são reais Rotacione a tela Se o radicando é negativo e as raízes e são complexas conjugadas Rotacione a tela Se o radicando é nulo e as raízes e são reais e iguais Fisicamente o que cada resultado anterior desses representa Quando se tem raízes reais o sistema não oscila é superamortecido Rotacione a tela Quando se tem raízes complexas conjugadas o sistema apresenta oscilação Rotacione a tela E finalmente quando as raízes são reais e iguais temse a condição limítrofe entre o movimento oscilatório e o movimento não oscilatório Rotacione a tela Por isso o amortecimento crítico é igual a A fração de amortecimento é um parâmetro que foi introduzido como referência pois compara o valor do coeficiente do amortecedor com o valor mínimo necessário para não haver oscilações daí o sobrenome crítico b m 2 4 k m bm2 4km s1 s2 s1 b 2m b 2m 2 k m s2 b 2m b 2m 2 k m bm2 4km s1 s2 s1 b 2m i b 2m 2 k m s2 b 2m i b 2m 2 k m i 1 bm2 4km s1 s2 a b2m bm2 4km b2 4 km2 m b 2km bm2 4km b2 4 km2 m b 2km bm2 4km b2 4 km2 m b 2km 2km ζ 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 5675 Mas agora como resolver isso em um sistema de duas ou mais equações de movimento que estão acopladas Não se pode simplesmente dizer que há dois amortecimentos críticos porque agora há influência mútua entre os graus de liberdade Matematicamente isso é feito admitindo que a matriz de amortecimento é proporcional às matrizes de rigidez e de inércia Rotacione a tela Em que e são constantes Com isso conseguese desacoplar as equações de movimento É como se o sistema de dois graus de liberdade fosse substituído por outro com duas massas com um grau de liberdade cada Veja que essa substituição é matemática não física o sistema continua existindo com os mesmos vínculos E aí como cada equação é independente cada uma delas fornece uma fração de amortecimento modal calculada a partir da matriz modal do sistema A matriz modal é formada pelos vetores modais Rotacione a tela Mas o amortecimento proporcional nem sempre é válido e aí é preciso resolver o sistema numericamente com auxílio de algoritmos rodando em softwares dedicados Amortecimento em sistemas acoplados Neste vídeo o especialista fará uma análise do comportamento de sistemas acoplados com amortecimento desenvolvendo as principais expressões matemáticas aplicáveis a este caso Você acompanhou a discussão sobre os movimentos da plataforma apoiada sobre molas em que os graus de liberdade estão acoplados Vejamos com auxílio da imagem que segue o que acontece quando são acrescentados amortecedores viscosos ao lado de cada uma das molas Ainda a plataforma é submetida a duas excitações de base harmônicas diferentes Rotacione a tela Rotacione a tela Sendo a imagem B αΞ βK α β V x11 x12 x21 x22 B αΞ βK y01t Y1 sen ω01t y02t Y2 sen ω02t 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 5775 Plataforma de dois graus de liberdade suportada por dois conjuntos de mola e amortecedor viscoso As equações de movimento são obtidas por meio do diagrama de corpo livre do sistema Plataforma deslocada de sua posição de referência Considerando a hipótese de pequenos deslocamentos conforme a última imagem temse que Rotacione a tela Rotacione a tela Portanto as alturas dos pontos e medidas a partir da linha de referência são Rotacione a tela Rotacione a tela As velocidades absolutas dos pontos e são Rotacione a tela Rotacione a tela Então a velocidade relativa de cada ponto é a diferença entre a sua velocidade absoluta e as velocidades de excitação de base por convenção o sinal destas é positivo h1 a1θ h2 a2θ P1 P2 P1 y a1θ P2 y a2θ P1 P2 vP1 y a1θ vP2 y a2θ 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 5875 Rotacione a tela É preciso conhecer o valor dessas velocidades porque delas dependem as forças desenvolvidas pelos amortecedores Os deslocamentos de cada mola são Rotacione a tela Temse então as forças desenvolvidas pelas molas e pelos amortecedores Rotacione a tela Essas forças produzem momentos em torno do CG da plataforma Rotacione a tela Temos então as equações de movimento Rotacione a tela Arrumando as equações em forma matricial chegase a vr1 v01 vP1 y01 y a1θ vr2 v02 vP2 y02 y a2θ δ1 y01 yP1 y01 y a1θ δ2 y02 yP2 y02 y a2θ Fb1 b1vr1 b1 y01 y a1θ Fb2 b2vr2 b2 y02 y a2θ Fk1 k1δ1 k1 y01 y a1θ Fk2 k2δ2 k2 y02 y a2θ MCG a1 Fb1 Fk1 a2 Fb2 Fk2 my b1 y01 y a1θ b2 y02 y a2θ k1 y01 y a1θ k2 y02 y a2θ Jθ a1b1 y01 y a1θ a2b2 y02 y a2θ a1k1 y01 y a1θ a2k2 y02 y a2θ m 0 0 J y θ b1 b2 a1b1 a2b2 a1b1 a2b2 a2 1b1 a2 2b2 y θ k1 k2 a1k1 a2k2 a1k1 a2k2 a2 1k1 a2 2k2 y θ b1 b2 a1b1 a2b2 y01 y02 k1 k2 a1k1 a2k2 y01 y02 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 5975 Rotacione a tela Temos então as matrizes de inércia de amortecimento e de rigidez Rotacione a tela E ainda mais duas matrizes uma para a excitação de base rigidez e outra para sua derivada no tempo amortecimento Rotacione a tela Rotacione a tela O sistema é então reescrito Rotacione a tela Observe que a matriz de amortecimento B mostra que há acoplamento entre as velocidades absolutas dos graus de liberdade Ou seja a velocidade absoluta angular de plataforma contribui para dissipar energia do movimento de translação A recíproca é verdadeira a velocidade absoluta linear do centro de gravidade da plataforma influencia seu movimento angular dissipando energia Esse acoplamento é representado pelos elementos de sua diagonal secundária O produto da matriz B pelo vetor de velocidades absolutas é a parcela correspondente às forças e torques resultantes de amortecimento Rotacione a tela Ou seja Rotacione a tela Em cada expressão podese ver a influência de cada velocidade absoluta no grau de liberdade correspondente e no outro Força produzida pela velocidade angular no grau de liberdade de translação Ξ B K m 0 0 J b1 b2 a1b1 a2b2 a1b1 a2b2 a2 1b1 a2 2b2 k1 k2 a1k1 a2k2 a1k1 a2k2 a2 1k1 a2 2k2 Ek Eb Ek k1 k2 a1k1 a2k2 Eb b1 b2 a1b1 a2b2 Ξ B K Eb Ek y θ y θ y θ y01 y02 y01 y02 θ y B y θ b1 b2 a1b1 a2b2 a1b1 a2b2 a2 1b1 a2 2b2 y θ Fb b1 b2y a1b1 a2b2θ MbCG a1b1 a2b2y a2 1b1 a2 2b2θ Fbθy a1b1 a2b2θ 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 6075 Torque produzido pela velocidade linear absoluta no grau de liberdade de rotação Para desacoplar a influência de um no outro é preciso anular o termo entre parênteses Rotacione a tela A partir disso assim como no caso do desacoplamento das forças e torques produzidos pelas molas podese escolher na equação qual das quatro variáveis será definida pelas outras três Para isso é bom que durante o projeto se estabeleça um critério porque nesse caso se os parâmetros e são alterados também haverá influência nas forças e torques produzidos pelas molas Comentário Em um equipamento por vezes é mais fácil trocar um componente como um amortecedor ou uma mola do que alterar as distâncias de seus pontos de fixação isso pode comprometer o projeto original e mudar desnecessariamente outros fatores como a distribuição de peso por exemplo Portanto se durante o projeto for necessário desacoplar os movimentos pode ser recomendável manter os parâmetros e e alterar os amortecedores É possível que a excitação de base seja aplicada diretamente na plataforma o termo excitação de base não restringe sua aplicação somente à base propriamente dita Um exemplo é uma perturbação proveniente de um motor desbalanceado Plataforma sujeita à excitação de base produzida por um motor desbalanceado Aqui o motor produz uma força desbalanceadora harmônica de magnitude F03 sobre a plataforma aplicada no ponto e que produz momento em torno do uma vez que está afastada de dele As equações de movimento são Rotacione a tela Temse assim dois casos que mostram situações em que um sistema acoplado pode estar submetido As soluções analíticas são por demais extensas e é comum nesses casos escrever um algoritmo para obter uma solução numérica Amortecimento torcional viscoso Neste vídeo será feita uma análise do comportamento de sistemas torcionais amortecidos em particular o amortecedor viscoso de vibrações não sintonizado amortecedor Houdaille Serão apresentados os parâmetros fator de amplificação e fator de amortecimento ótimo Mbyθ a1b1 a2b2y a1b1 a2b2 0 a1 a2 a1 a2 P3 CG a3 Ξ B K y θ y θ y θ F03 sen ωt a3F03 sen ωt 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 6175 Vamos agora conhecer um amortecedor viscoso de vibrações não sintonizado É usado em sistemas rotativos em que as frequências perturbadoras para oscilações torcionais são proporcionais à velocidade de rotação como em um motor de automóvel por exemplo há mais de uma frequência dessa natureza O amortecedor viscoso de vibrações não sintonizado é eficiente em uma ampla faixa operacional Consiste em uma massa livre rotativa como um disco sólido dentro de uma cavidade cilíndrica cheia de um fluido viscoso representado na imagem a seguir É conhecido como amortecedor Houdaille Vista em corte de uma polia compreendendo um amortecedor viscoso de vibrações não sintonizado montada rigidamente em um eixo de rigidez torcional Temos que O eixo em que a polia é rigidamente montada tem rigidez O fluido em que o disco de momento de inércia em torno do eixo longitudinal medindo está imerso proporciona um amortecimento viscoso de coeficiente A polia tem momento de inércia em torno do eixo longitudinal medindo O deslocamento angular da polia é representado por O deslocamento angular do disco interno é representado por Esse é um sistema de dois graus de liberdade porque os movimentos do disco e da polia são independentes O acoplamento entre os graus de liberdade se dá somente por meio das velocidades angulares absolutas porque o disco interno não está vinculado ao eixo ele flutua no fluido viscoso Um torque harmônico de magnitude é aplicado na polia As equações de movimento da polia e do disco são respectivamente Rotacione a tela O amortecimento crítico desse sistema é dado pela expressão Rotacione a tela kT kT x Jd b x J θ φ M0 Jθ kTθ bθ φ Mt Jd φ bθ φ 0 bcr 2JkT 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 6275 Rotacione a tela A frequência natural é calculada como Rotacione a tela Fazendo a equação do fator de amplificação desse sistema é Rotacione a tela Quando não há amortecimento e o fator de amplificação é igual a Rotacione a tela O sistema comportase como um oscilador harmônico de torção não amortecido de um grau de liberdade e a frequência de ressonância é igual à frequência natural Se o amortecimento é muito alto a tendência é que o disco interno gire junto com a polia tendo assim movimento de corpo rígido Nesse caso a frequência de ressonância é igual a mais baixa do que a frequência natural sem amortecimento Há um valor do fator de amortecimento chamado de fator de amortecimento ótimo em que o pico da amplitude de oscilação é o menor Rotacione a tela E o pico da amplitude quando o fator de amortecimento é ótimo ocorre em uma frequência igual a Rotacione a tela A resposta do sistema é representada nos gráficos que seguem para diferentes valores de frações de amortecimento sendo que Observe que há mudança de frequência de ressonância relativamente ao caso sem amortecimento quando E que pela tendência apresentada no gráfico quanto mais superamortecido for o sistema maior é o fator de amplificação comportamento oposto aos dos sistemas amortecidos vistos até agora Todas as curvas passam pelo ponto ωn kTJ ρ JdJ kTΘ M0 4ζ 2 ωωn2 4ζ 2ωωn21 ρ 1 2 ωωn2ωωn2 1 2 ζ 0 kTΘ M0 1 1 ωωn2 ωress kT Jd ζot 1 21 ρ2 ρ ω ωn 2 2 ρ ζe ζd ζc ζb ζa ζ 0 P 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 6375 Comportamento do sistema de amortecimento Houdaille em função da razão entre frequência de excitação e frequência natural Vejamos o que acontece quando usamos os seguintes valores Calculandose a frequência natural e a fração de amortecimento Rotacione a tela A razão entre os momentos de inércia é Rotacione a tela Se por hipótese o amortecedor Houdaille opera a uma frequência de temse Rotacione a tela O valor da fração de amortecimento ótima é calculado a partir das razões entre os momentos de inércia ωωn J 3 50kgm2 Jd 1 85kgm2 b 1850Nmsrad kT 1 40 106Nmrad ωn kT J 1 40 106 3 50 632 45rads100 65Hz ζ b bcr b 2Jdωn 1850 21 85632 45 0 79 ρ Jd J 1 85 3 50 0 53 50Hz314 16 rads kTΘ M0 1 57 kTΘ M0 4 0 792 50 10065 2 4 0 792 50 10065 2 1 0 53 1 2 50 10065 2 50 10065 2 1 2 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 6475 Rotacione a tela E a frequência em que ocorre a oscilação mínima é igual a Rotacione a tela Presumindo que um torque de magnitude seja aplicado ao eixo a amplitude de oscilação da polia é igual a Rotacione a tela Essa amplitude de oscilação é imperceptível a olho nu porém pode causar um efeito dinâmico indesejado Quando essa polia move uma correia essa oscilação pode ser transmitida a ela e se não for devidamente absorvida e dissipada por seu próprio material será transmitida e até mesmo amplificada para o restante do equipamento Absorvedor dinâmico de vibração com amortecimento Neste vídeo serão apresentados o conceito e a finalidade dos absorvedores dinâmicos de vibração com amortecimento seu princípio físico e as principais relações matemáticas aplicáveis Absorvedores de vibração servem para anular a oscilação de um equipamento em uma única frequência não são amortecedores porque não dissipam energia O princípio físico que os rege é o da transferência de energia do componente primário para o secundário Isso por outro lado resulta em vibração excessiva do próprio absorvedor o que pode leválo à falha por fadiga Além disso mesmo com a oscilação do componente primário sendo anulada na frequência escolhida por vezes o equipamento é submetido a uma frequência que produz ressonância menor do que a frequência de trabalho Para corrigir esses problemas por vezes é necessário acrescentar um amortecedor ao absorvedor que passa a ser um absorvedor dinâmico de vibração amortecido dispositivo ilustrado na imagem que segue ζot 1 21 ρ2 ρ 1 21 0 532 0 53 0 36 ω ωn 2 2 ρ 632 4 2 2 0 53 562 32rads89 50Hz M0 150Nm kTΘ M0 1 57 Θ 1 57 M0 kT 1 57 150 1 40 106 1 69 104rad 0 0097 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 6575 Equipamento representado pela massa dotado de um absorvedor dinâmico de vibração amortecido em destaque As equações de movimento do sistema são Rotacione a tela Veja que o sistema tem apenas um amortecedor cujo coeficiente de amortecimento é representado por As molas de rigidez representam o sistema de isolamento do equipamento de massa Por isso o amortecimento crítico é calculado em função de parâmetros do absorvedor Para facilitar os cálculos podese escrevêlo em função da frequência natural do sistema Rotacione a tela Para que a expressão não fique muito extensa é conveniente usar algumas constantes Rotacione a tela Assim a expressão do fator de amplificação é Rotacione a tela m1 m1 0 0 m2 x1 x2 b2 b2 b2 b2 x1 x2 k1 k2 k2 k2 k2 x1 x2 F0 sen ωt 0 b2 k12 m1 m1 k1 bcr 2m2 k1 m1 2m2ωn ρ m2 m1 ϕ ωa ωn ωa k2 m2 ζ b2 bcr b2 2m2ωn k1X1F0 k1X1 F0 4ζ 2 ω ωn 2 ω ωn 2 ϕ2 2 4ζ 2 ω ωn 2 ω ωn 2 1 ρ 1 2 ρϕ2 ω ωn 2 ω ωn 2 1 ω ωn 2 ϕ2 2 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 6675 A expressão depende dos quatro fatores e Esses são os parâmetros de projeto que guiam o projetista que escolherá o absorvedor para que a amplitude de oscilação seja a menor possível Quando a ressonância ocorre nas duas frequências naturais do sistema São duas frequências naturais porque o sistema tem dois graus de liberdade e tratase de um oscilador não amortecido Rotacione a tela Para se ter amplitude nula é preciso que Rotacione a tela Sabendo que Rotacione a tela Quando a frequência de excitação for igual à frequência natural Isso até poderia resolver o problema da oscilação da massa mas no restante da faixa de frequência o sistema continuaria oscilando É preciso então conhecer o comportamento do sistema de uma forma mais geral lembrando que são quatro parâmetros para serem analisados O comportamento do sistema pode ser representado em um gráfico Comportamento oscilatório do equipamento representado pela massa dotado de um absorvedor dinâmico de vibração amortecido em função da frequência de excitação Observe que todas as curvas passam pelos pontos e e o absorvedor mais eficiente é aquele em que as ordenadas desses pontos são iguais Disso resulta a seguinte relação Rotacione a tela Um absorvedor que satisfaça a expressão é chamado de absorvedor de vibração sintonizado mas isso não quer dizer que tenha a fração de amortecimento otimizada ρ ϕ ζ ωωn X1 ζ 0 k1X1 F0 ω ωn 2 ϕ2 ρϕ2 ω ωn 2 ω ωn 2 1 ω ωn 2 ϕ2 ω ωn 2 ϕ2 0 ϕ ωaωn ω ωn 2 ωa ωn 2 0 ω ωn ωa ωn ω ωa ωa X1 0 m1 m1 ω ζe ζd ζc ζb ζa P1 P2 ωa ωn 1 1 m2m1 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 6775 Usando as relações anteriormente apresentadas e substituindoas na expressão acima chegase a Rotacione a tela Para o absorvedor otimizado temse que a fração de amortecimento é igual a Rotacione a tela E quanto às oscilações da massa Para a massa do absorvedor a que vai oscilar mais a expressão do fator de amplificação é Rotacione a tela Comparando os numeradores das duas expressões temse que a oscilação é sempre maior em qualquer faixa de frequência Por isso no projeto devese reservar espaço suficiente para permitir que a massa se mova Pelo mesmo motivo é preciso considerar que a mola poderá sofrer fadiga porque irá se deslocar mais que a mola Na prática o amortecimento deve ser adicionado apenas em situações em que a banda de frequência na qual o absorvedor é eficaz seja muito estreita para operação note que quando se adiciona amortecimento a massa sempre oscila o que não acorre com o absorvedor dinâmico não amortecido Absorvendo oscilações Neste vídeo o especialista apresenta o conceito e a vantagem de se usar o absorvedor dinâmico com amortecimento A partir de uma fresadora com excitação harmônica são apresentadas as principais relações matemáticas A vantagem de se usar o absorvedor dinâmico com amortecimento é cobrir uma ampla faixa de frequências de funcionamento o que pode ser ideal para máquinas que operam com variação de velocidade Suponha que uma fresadora como a da imagem que segue seja sujeita a uma determinada excitação harmônica em uma faixa de velocidades Essa fresadora deve operar em uma faixa de velocidade entre e na produção de engrenagens de uma indústria k2 m1m2 m1 m22 k1 ζot 3 m2m1 81 m2m13 m2 k1X2 F0 4ζ 2 ω ωn 2 ϕ4 4ζ 2 ω ωn 2 ω ωn 2 1 ρ 1 2 ρϕ2 ω ωn 2 ω ωn 2 1 ω ωn 2 ϕ2 2 X2 m2 k2 k1 m1 90 150rads 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 6875 Fresadora montada sobre base como isolamento por molas e equipada com absorvedor dinâmico de vibrações amortecido Ressaltase que é uma máquina operatriz que demanda precisão e por isso não pode vibrar muito Admita que a massa da fresadora seja e que seja suportada por molas cujas rigidezes somadas sejam A frequência natural do sistema fresadora base é igual a Rotacione a tela Isso mostra que a fresadora terá que operar numa faixa em que sua frequência natural se encontra Se um absorvedor dinâmico não amortecido fosse incorporado à base serviria apenas para anular a oscilação nessa frequência e adicionaria ao sistema mais um grau de liberdade que passaria a ter duas frequências naturais Por hipótese a massa do absorvedor é tal que e sua mola é tal que Então para que a oscilação de seja nula em sua frequência natural Rotacione a tela As novas frequências naturais e são calculadas por meio da equação Rotacione a tela Substituindo os valores temse e bem próximas às velocidades de operação da máquina Ou seja quando sua velocidade se aproximasse desses valores as oscilações aumentariam Isso pode ser verificado no gráfico a seguir As oscilações com o absorvedor de vibração não amortecido são mais altas próximas aos limites da faixa de frequências de trabalho Dependendo dos valores das amplitudes de oscilação pode haver interferência na operação da fresadora prejudicando a precisão m1 250kg k1 3 60 106Nm ωn k1 m1 3 60 106 250 120rads m2 50kg k2 m2ω2 n m1 k2 m2ω2 n 50 1202 7 20 105Nm ω1 ω2 ω4 k1 m1 k2 m1 m2 m1m2 ω2 k1 m1 k2 m2 0 ω1 96 13rads ω2 149 8rads 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 6975 Comportamento da fresadora com absorvedor dinâmico de vibração não amortecido Para garantir que as oscilações sejam baixas recomendase usar um absorvedor dinâmico amortecido sintonizado assim Rotacione a tela A frequência é igual a Rotacione a tela Falta resolver o amortecimento Para que as oscilações sejam as menores possíveis na faixa de trabalho recomendase usar o valor ótimo para a fração de amortecimento Rotacione a tela Esse valor de fração de amortecimento nos dá um amortecedor de Rotacione a tela Com os valores definidos calculase o valor do fator de amplificação nos pontos e que são os valores de pico Para isso é preciso resolver a equação Rotacione a tela Fazendo k2 m1m2 m1 m22 k1 25050 250 502 3 60 106 5 00 105Nm ωa k2m2 ωa 5 00 10550 100rads ζot 3 m2m1 81 m2m13 350250 81 502503 0 21 ζot b2 2m2ωn b2 2ζotm2ωn 2 0 2150120 2520Nsm P1 P2 ω ωn 4 2 1 ϕ2 ρϕ2 2 ρ ω ωn 2 2ϕ2 2 ρ 0 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 7075 Rotacione a tela Substituindo os valores temse Rotacione a tela As raízes são Rotacione a tela Rotacione a tela O que dá Rotacione a tela Então substituímos esses valores na expressão do fator de amplificação Rotacione a tela Com isso lembrando que as ordenadas dos pontos e são iguais quando temos Rotacione a tela Se a magnitude da força externa é igual a ao longo de toda a faixa de trabalho a amplitude máxima do sistema quando um absorvedor dinâmico de vibração amortecido sintonizado e otimizado é incorporado ao sistema é η ω ωn 2 η2 2 1 ωa ωn 2 m2 m1 ωa ωn 2 2 m2 m1 η 2 ωa ωn 2 2 m2 m1 0 η2 2 1 100 120 2 50 250 100 120 2 2 50 250 η 2 100 120 2 2 50 250 0 η1 0 58 η2 1 10 ωP1 ωn η1 0 76 ωP1 0 76ωn 0 76120 91 20rads ωP2 ωn η2 1 05 ωP2 1 05ωn 1 05120 126 0rads k1X1 F0 4ζ 2 ω ωn 2 ω ωn 2 ϕ2 2 4ζ 2 ω ωn 2 ω ωn 2 1 ρ 1 2 ρϕ2 ω ωn 2 ω ωn 2 1 ω ωn 2 ϕ2 2 P1 P2 ζ ζot k1X1 F0 P1 k1X1 F0 P2 3 32 F0 10kN k1X1 F0 3 23 X1 3 3210000 3 60 106 9 22 103m 9 22mm 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 7175 Rotacione a tela Essa amplitude de oscilação é perceptível quase para cima e para baixo mas para reduzila seria necessário aumentar a massa do absorvedor o que pode ser impraticável porque de início já se tem uma massa de um valor respeitável é cerca de da massa média de um ser humano adulto Além da preocupação com a redução das oscilações da fresadora é preciso limitar o curso de oscilação da massa do absorvedor que é maior Só que as amplitudes nos pontos e são diferentes mesmo quando Assim é preciso calcular para ambos os pontos usando a expressão a seguir fazendo e Rotacione a tela Temse então Rotacione a tela Rotacione a tela Para a magnitude de Rotacione a tela Isso mostra que seria preciso reservar um espaço de pelo menos para a massa oscilar com folga já que ela se desloca aproximadamente para cima e para baixo Falta pouco para atingir seus objetivos Vamos praticar alguns conceitos 1cm 50kg 67 P1 P2 ζ ζot ω ωP1 91 20rads ω ωP2 126 0rads k1X2 F0 4ζ 2 ω ωn 2 ϕ4 4ζ 2 ω ωn 2 ω ωn 2 1 ρ 1 2 ρϕ2 ω ωn 2 ω ωn 2 1 ω ωn 2 ϕ2 2 k1X2 F0 P1 7 51 k1X2 F0 P2 4 65 10kN k1X2 F0 P1 7 51 X2 7 5110000 3 60 106 20 86 103m 20 86mm k1X2 F0 P2 4 65 X2 4 6510000 3 60 106 12 92 103m 12 92mm 60mm m2 21mm 21mm Questão 1 Sobre o absorvedor de vibração Houdaille mostrado na imagem que segue é correto afirmar que 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 7275 Parabéns A alternativa D está correta 0A2020202020202020202020202020202020203Cp20class3Dc paragraph3ENesse20absorvedor20de20vibraC3A7C3B5es20torcionais2C20quando205C5Czeta5C20aumenta2C20o paragraph20c table3E2424240A2020202020202020202020202020202020205Czeta7Bo20t7D3D5Cfrac7BJ7D paragraph3EAinda2C20absorvedores20amortecidos20nC3A3o20anulam20as20oscilaC3A7C3B5es2C20apenas20atenua A quando o valor parâmetro aumenta o fator de amplificação diminui porque o amortecimento é maior ζ B o acoplamento entre o grau de liberdade da polia e o grau de liberdade do disco interno se dá tanto pela rigidez quanto pelo amortecimento C se o momento de inércia aumenta o valor de também aumenta Jd ζot D a razão entre a frequência em que se dá o pico do fator de amplificação quando e a frequência natural depende apenas dos momentos de inércia ζ ζot JeJd E anula a oscilação de um sistema torcional quando é sintonizado para a frequência natural ζ Questão 2 Baseandose nos gráficos abaixo responda corretamente a incorporação de um absorvedor de vibração sintonizado e otimizado a um equipamento 21112023 1529 Movimentos vibratérios Parabéns A alternativa A esta correta 0A2020202020202020202020202020202020203Cp20class3Dc paragraph3EQuando20um20absorvedor20dinC3A2mico20de20vibraC3A7C3B5es20sintonizado20e20otimizado20C3A Em varias situagdes nos deparamos com equipamentos ou sistemas que apresentam oscilagdes com amplitudes altas o bastante para influenciar seu funcionamento ou mesmo lhes causar avarias Nos sistemas de dois graus de liberdade isso pode ser ainda mais significativo porque os httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07 140indexhtmlimprimir 7375 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 7475 movimentos são acoplados e a influência mútua pode amplificar o movimento de um deles Entretanto nem sempre é possível ou desejável desacoplar esses movimentos alterando os parâmetros do sistema já que o resultado pode ainda ser pior Modos de vibração previsíveis podem ser tornar aleatórios quando desacoplamos os graus de liberdade Se o sistema ainda se desloca sua velocidade é mais um fator de influência como no caso do automóvel um sistema de duas entradas para uma mesma excitação de base só que defasada com os graus de liberdade acoplados Quando há amortecimento um grau de liberdade dissipa a energia do outro O uso de absorvedores dinâmicos de vibração também é um recurso empregado para reduzir a amplitude de oscilação de equipamentos Os absorvedores dinâmicos sem amortecimento servem para anular a oscilação de um sistema na frequência desejada que pode ser a de funcionamento ou a natural mas trazem o inconveniente de acrescentar um grau de liberdade ao sistema que agora passa a ter duas frequências naturais Já os absorvedores com amortecimento conseguem atenuar as oscilações em uma faixa de frequências mais ampla porém não as anulam Há também o absorvedor torcional Houdaille que não tem vínculo de rigidez entre as massas somente de amortecimento viscoso Curiosamente nesses dois últimos quanto maior é o valor do fator de amortecimento maior é a oscilação Podcast Ouça e aproveite para consolidar e complementar seus estudos a respeito dos principais conceitos dos movimentos vibratórios 21112023 1529 Movimentos vibratórios httpsstecineazureedgenetrepositorio00212en07140indexhtmlimprimir 7575