Limites e Continuidade: Conceitos e Propriedades

Pronúncia Minúscula Maiúscula Unidade 1 Limites e Continuidade Esta unidade está dividida em quatro tópicos Tópico 1 Conceito e propriedade de limites Tópico 2 Análise de limites de funções Tópico 3 Continuidade de funções Bons estudos Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limites CONCEITO DE LIMITE Vamos considerar a função definida pela expressão cuja representação gráfica é Poderíamos perguntar O que acontece com a função quando x assume valores próximos do zero UNIASSELVI GRADUAÇÃO E PÓS Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limites CONCEITO DE LIMITE Vamos considerar a função definida pela expressão cuja representação gráfica é Se aproximando pela direita ou seja números um pouco maiores que zero e cada vez mais próximos podemos notar que a função se aproxima do número 1 Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limites CONCEITO DE LIMITE Vamos considerar a função definida pela expressão cuja representação gráfica é Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limites CONCEITO DE LIMITE Vamos considerar a função definida pela expressão cuja representação gráfica é Se aproximando pela esquerda ou seja números um pouco menores que zero e cada vez mais próximos podemos notar que a função também se aproxima do número 1 Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limites CONCEITO DE LIMITE Vamos considerar a função definida pela expressão cuja representação gráfica é Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limites CONCEITO DE LIMITE Vamos considerar a função definida pela expressão cuja representação gráfica é Assim concluímos que quando x tende para 0 pela direita e pela esquerda a função fx tende para 1 Representamos a situação da seguinte forma Limite da função f com x tendendo a 0 é 1 Definição Considere uma função e um ponto de acumulação de Dizemos que o limite de uma função quando tende para é se para todo existe um número real tal que se e então E o limite de uma função quando tende de é é denotado da seguinte forma Que o limite quando existente é único Y 1 L2 3 a1 2 a2 3 L1 2 L 1 a 1 Fx L X a1 Fa1 f Fx 3x 9 X Reais positivos Calcule para 3 números Y X 18 2 3 15 12 f F1 12 F2 15 F3 18 Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limite Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limite Acompanhe alguns aplicações Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limite O limite da soma ou subtração de duas funções é igual a soma ou subtração do limite individual de cada função Exemplo O limite de uma função multiplicada por uma constante é igual ao limite da função multiplicada pela constante Exemplo 2²52 2² 52 4 10 4 10 14 14 Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limite O limite da multiplicação de duas funções é igual a multiplicação do limite individual de cada função Exemplo Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limite O limite da divisão de duas funções é igual a divisão do limite individual de cada função Exemplo Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limite TEOREMA DO CONFRONTO E DA FUNÇÃO LIMITADA Teorema Considere uma função e definidas num intervalo aberto contendo tal que para todo exceto talvez em Se então Substitua nas funções fx gx e hx os valores a baixo e determine se são confrontantes Fx x² 3 gx 5x 10 hx 15 2x² Valores 3 8 2 12 25 67 50 720 As equações não são confrontantes Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limite Agora a pergunta é Como resolvemos o limite de uma função De uma maneira direta poderíamos aplicar a definição porém além de ser extenso há situações muito complexas Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limite Testar o Ponto do Limite na Função Solução Impossibilidade Exemplo 50 Limites Laterais Indeterminação Exemplo 00 Manipulações Matemáticas Aplicação dos Limites Fundamentais Em primeiro momento tentamos substituir o valor do limite na função para encontrar a resposta Uma das três situação irá acontecer Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limite Testar o Ponto do Limite na Função Solução Impossibilidade Exemplo 50 Limites Laterais Indeterminação Exemplo 00 Manipulações Matemáticas Aplicação dos Limites Fundamentais Ou encontramos a solução ou uma impossibilidade ou uma indeterminação Em limites a indeterminação é um situação em que a solução não é clara no momento da simples substituição porém pode existir uma solução Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limite Testar o Ponto do Limite na Função Solução Impossibilidade Exemplo 50 Limites Laterais Indeterminação Exemplo 00 Manipulações Matemáticas Aplicação dos Limites Fundamentais Ou encontramos a solução ou uma impossibilidade ou uma indeterminação Para o caso da impossibilidade ou indeterminação segue a orientação do que devemos fazer Segue os sete casos de indeterminações Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limite Testar o Ponto do Limite na Função Solução Impossibilidade Exemplo 50 Limites Laterais Indeterminação Exemplo 00 Manipulações Matemáticas Aplicação dos Limites Fundamentais Limites laterais manipulações matemáticas e limites fundamentas serão abordadas no próximo tópico Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limite Exemplo Determine o limite de cada uma das situações a seguir a Resolução Logo o limite da função para tendendo a 2 é 12 Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limite Exemplo Determine o limite de cada uma das situações a seguir b Resolução Logo o limite da função para tendendo a é Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limite Exemplo Determine o limite de cada uma das situações a seguir Resolução Logo uma indeterminação veremos posteriormente como resolver Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limite Exemplo Determine o limite de cada uma das situações a seguir Resolução Logo uma impossibilidade matemática veremos posteriormente como resolver Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limite INDETERMINAÇÃO Até agora calculamos limites do quociente entre duas funções aplicando o ponto do limite diretamente Mas existem situações em que você encontre situação do tipo Neste caso o que fazer Neste tópico é visto artifícios algébricos de como sair destas indeterminações Ao todo são sete os símbolos de indeterminação Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limite INDETERMINAÇÃO Quando tratamos de polinômios um bom artifício é a fatoração Veja um exemplo Aplicação Uma importante estratégia é utilizar da decomposição de um polinômio pelo método de BriotRuffini já que uma das raízes do polinômio é conhecida na indeterminação do tipo 00 Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 1 Conceito e propriedade de limite INDETERMINAÇÃO Situações que envolvam raízes há um artifício de multiplicar o numerador e denominador pelo conjugado da parte que contém a raiz Exemplo seu conjugado será Isso possibilita modificar a estrutura da função possibilitando eliminar a indeterminação Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 2 Análise de limites de funções LIMITES LATERAIS Ao considerarmos o cálculo do estamos interessados no comportamento da função nos valores próximos de Vimos no tópico anterior que para calcular o limite é preciso analisar o comportamento da função por valores menores do que e por valores maiores do que isto é nos valores de pertencentes a um intervalo aberto contendo porém diferentes de Ainda nos valores desse intervalo que são maiores ou menores que Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 2 Análise de limites de funções LIMITES LATERAIS O intuito deste tema é estudar o comportamento da função pela esquerda um pouco menor denotado por e pela direita um pouco maior denotado por no ponto em questão Lim 3x 14 X 2 3201 14 3199 14 Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 2 Análise de limites de funções LIMITES NO INFINITO São limites em que o ponto de análise é o infinito Em geral o símbolo infinito não representa nenhum número real e não pode ser empregado na aritmética na maneira usual Por isso precisamos definir um teorema para nos dar suporte podendo assim resolver alguns casos de limites Teorema 6 Se é um número natural positivo então Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 2 Análise de limites de funções LIMITES INFINITOS São limites em que o resultado é o infinito ou seja o comportamento da função nas proximidades de um ponto tenda ao infinito Isso acontece normalmente nos pontos de descontinuidade das funções onde a função não está definida A estratégia é utilizar dos limites laterais para a resolução Teorema 7 Se é um número natural então Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 2 Análise de limites de funções LIMITES FUNDAMENTAIS São teoremas que facilitam o cálculo de alguns casos particulares de limites Proposição 8 Primeiro limite fundamental do cálculo Proposição 9 Segundo limite fundamental Numero de Euler constante matemática Proposição 10 Se e então Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 3 Continuidade de funções CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Intuitivamente gostaríamos de dizer que uma função definida num intervalo é contínua quando seu gráfico é constituído por um traço isto é quando seu gráfico pode ser traçado sem levantar o lápis do papel Essa ideia intuitiva apesar de não ser precisa poderá ser útil em muitas situações Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 3 Continuidade de funções CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 3 Continuidade de funções CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Definição Dizemos que uma função é dita contínua no ponto p se as três condições a seguir forem satisfeitas Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 3 Continuidade de funções CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Exemplo Realize a verificação de continuidade para a função a seguir para Primeiro item Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 3 Continuidade de funções CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Exemplo Realize a verificação de continuidade para a função a seguir para Sendo assim Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 3 Continuidade de funções CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Exemplo Realize a verificação de continuidade para a função a seguir para Como e Logo a função é contínua em Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO Teorema TVI Se uma função é contínua no intervalo com então para todo entre e existe pelo menos um tal que Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Unidade 1 Limite e Continuidade de uma Função Tópico 3 Continuidade de funções BOLZANO OU TEOREMA DO ANULAMENTO Teorema Se uma função é contínua no intervalo com de sinais contrários então existirá pelo menos um tal que