Notas de Aula - Automacao Industrial Parte 4

Resposta de sistemas de segunda ordem à excitação em degrau. A função de transferência de malha fechada do sistema mostrado na Fig. 4-8(c) é $$ \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{K}{Js^2 + Bs + K} $$ (4-17) que pode ser reescrita como $$ \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{K}{J}\frac{1}{s^2 + \frac{B}{J}s + \frac{K}{J}} = \frac{K}{J}\frac{1}{\left( s + \frac{B}{2J} \right)^2 + \frac{K}{J} - \frac{B^2}{4J^2}} $$ (4-18) Os pólos a malha fechada são complexos se $B^2 - 4JK < 0$, e são reais se $B^2 - 4JK \geq 0$. Para a análise da resposta transitória, é conveniente escrever $$ \zeta \omega_n = \frac{B}{J} = 2\zeta \omega_n = 2\sigma $$ onde $\zeta$ é chamado de atenuação, $\omega_n$ é a frequência natural não-amortecida e $\zeta$ é o coeficiente de amortecimento do sistema. O coeficiente de amortecimento $\zeta$ é a relação entre o amortecimento real $B$ e o amortecimento crítico $B_c = 2\sqrt{JK}$, ou seja, $$ \zeta = \frac{B}{B_c} = \frac{B}{2\sqrt{JK}} $$ Em termos de $\zeta$ de $\omega_n$, o sistema mostrado na Fig. 4-8(c) pode ser modificado de acordo com o mostrado na Fig. 4-9 e a função de transferência a malha fechada $C(s)/R(s)$ dada pela Eq. (4-18) pode ser escrita $$ \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{K}{J}\frac{1}{s^2 + 2\zeta \omega_n s + \omega^2_n} $$ (4-19) O comportamento dinâmico dos sistemas de segunda ordem pode então ser descrito em função de dois parâmetros $\zeta$ e $\omega_n$. Se $0 < \zeta < 1$, os pólos a malha fechada são complexos conjugados e se situam no semiplano esquerdo do plano s. O sistema então é dito subamortecido, e a resposta transitória é oscilatória. Se $\zeta = 1$, o sistema é dito criticamente amortecido. Sistemas superamortecidos correspondem a $\zeta > 1$. A resposta transitória de sistemas amortecidos criticamente e superamortecidos não oscila. Se $\zeta = 0$, a resposta transitória não decai. Será determinada, agora, a resposta do sistema mostrado na fig. 4-9 a uma excitação em degrau unidade. Consideram-se três casos diferentes; o subamortecido $(0 < \zeta < 1)$, o criticamente amortecido $(\zeta = 1)$ e o superamortecido $(\zeta > 1).$ [Diagrama] Fig. 4-9 Sistema de segunda ordem. (1) Caso subamortecido $(0 < \zeta < 1):$ Neste caso, $C(s)/R(s)$ pode ser escrita $$ \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\omega^2_n}{(s + \zeta \omega_n + j\omega_d)(s + \zeta \omega_n - j\omega_d)} $$ onde $\omega_d = \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}$. A frequência $\omega_d$ é chamada de frequência natural amortecida. Para uma excitação em degrau unitário, $C(s)$ pode ser escrita como $$ C(s) = \frac{\omega^2_n \cdot 1}{s(s^2 + 2\zeta \omega_n s + \omega^2_n)} $$ (4-20) A transformada de Laplace inversa da Eq. (4-20) pode ser obtida facilmente se $C(s)$ for escrita sob a seguinte forma: $$ \frac{1}{s}\frac{s + 2\zeta \omega_n}{(s + \zeta \omega_n)^2 + \omega^2_d} $$ No Cap. 2 foi mostrado que $$ \mathscr{L}^{-1} \left\{ \frac{s + \zeta \omega_n}{(s + \zeta \omega_n)^2 + \omega^2_d} \right\} = e^{-\zeta \omega_n t} \cos \omega_d t $$ e $$ \mathscr{L}^{-1} \left\{ \frac{\omega_d}{(s + \zeta \omega_n)^2 + \omega^2_d} \right\} = e^{-\zeta \omega_n t} \sin \omega_d t $$ Portanto, a transformada de Laplace inversa da Eq. (4-20) é obtida como se segue: $$ \mathscr{L}^{-1}\{C(s)\} = c(t) $$ $$ = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1 - \zeta^2}} \left( \cos \omega_d t + \frac{\zeta}{\sqrt{1 - \zeta^2}} \sin \omega_d t \right) $$ $$ = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1 - \zeta^2}} \sin \left( \omega_d t + \tan^{-1} \frac{\sqrt{1 - \zeta^2}}{\zeta} \right) \quad \text{para } t \geq 0 $$ (4-21) Este resultado pode ser obtido diretamente usando-se uma tabela de transformadas de Laplace. Da Eq. (4-20) pode-se ver que a frequência da oscilação transitória é a frequência natural amortecida $\omega_d$ e, portanto, varia com o coeficiente de amortecimento $\zeta$. O sinal de erro para este sistema é a diferença entre a entrada e a saída, e é $$ e(t) = r(t) - c(t) $$ $$ = \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1 - \zeta^2}} \sin \left( \omega_d t + \tan^{-1} \frac{\sqrt{1 - \zeta^2}}{\zeta} \right) \quad \text{para } t \geq 0 $$ (4-22) Este sinal de erro apresenta uma oscilação senoidal amortecida. Em regime permanente, ou em $t = \infty$, não existe erro entre a entrada e a saída. Se o coeficiente de amortecimento $\zeta$ for igual a zero, a resposta se torna não-amortecida e as oscilações continuam indefinidamente. A resposta $c(t)$ para o caso de amortecimento nulo pode ser obtida substituindo-se $\zeta = 0$ na Eq. (4-21), resultando $$ c(t) = 1 - \cos \omega_n t \quad \text{para } t \geq 0 $$ (4-22) Portanto, da Eq. (4-22) vê-se que $\omega_n$ representa a frequência natural não-amortecida do sistema. Isto é, $\omega_n$ é a frequência em que o sistema oscilaria se o amortecimento fosse reduzido a zero. Se o sistema linear tiver amortecimento, mesmo que só um pouco, a frequência natural não-amortecida não poderá ser observada experimentalmente. A frequência que pode ser observada é a frequência natural amortecida $\omega_d$, que é igual a $\omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}$. Esta frequência é sempre menor que a frequência natural não-amortecida. Um aumento em $\zeta$ irá reduzir a frequência natural amortecida $\omega_d$. Se o valor de $\zeta$ for aumentado além da unidade, a resposta se tornará superamortecida e não irá oscilar. (2) Caso criticamente amortecido $(\zeta = 1):$ Se os dois pólos de $C(s)/R(s)$ forem aproximadamente iguais, o sistema pode ser aproximado por um com amortecimento crítico. Para uma excitação em degrau unitário, $R(s) = 1/s$ e $C(s)$ pode ser escrita $$ C(s) = \frac{1}{s^2 + 2\omega_n s + \omega^2_n} $$ (4-23) A transformada de Laplace inversa da Eq. (4-23) pode ser determinada como sendo $$ c(t) = 1 - e^{-\omega_n t}(1 + \omega_n t), \quad \text{para } t \geq 0 $$ (4-24) Este resultado pode ser obtido fazendo-se $\zeta$ tender a 1 na Eq. (4-21) e usando-se o seguinte limite: $$ \lim _{\zeta \to 1} \frac{1}{\sqrt{1 - \zeta^2}} \sin \omega_d t = \lim _{\zeta \to 1} \frac{\omega_d}{1 - \zeta^2} \sin (\omega_n \sqrt{1 - \zeta^2} t) = \omega_n t $$ (3) Caso superamortecido $(\zeta \geq 1):$ Nesse caso, os dois pólos de $C(s)/R(s)$ são reais, negativos e distintos. Para uma excitação em degrau unitário, $R(s) = 1/s$ e $C(s)$ pode ser escrita $$ C(s) = \frac{1}{(s + \mu_1)(s + \mu_2)} $$ (4-25) A transformada de Laplace inversa da Eq. (4-25) é $$ c(t) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{\zeta^2 - 1}} \left( e^{-(\zeta \omega_n + \omega_d)t} + e^{-(\zeta \omega_n - \omega_d)t} \right) $$ $$ = \frac{1}{2\sqrt{\zeta^2 - 1}} \left( e^{s_1 t} + e^{s_2 t} \right) $$ $$ = 1 + \frac{\omega_n}{2\sqrt{\zeta^2 - 1}} \left( e^{\omega_n(\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1})t} + e^{\omega_n(\zeta - \sqrt{\zeta^2 - 1})t} \right) $$ onde $s_1 = -(\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1})\omega_n$, e $s_2 = -(\zeta - \sqrt{\zeta^2 - 1})\omega_n$. Portanto, a resposta $c(t)$ inclui dois termos de exponencial decrescente. Quando $\zeta$ for consideravelmente maior que a unidade, uma das duas exponenciais decrescentes decai mais rapidamente que a outra, de tal forma que o termo de exponencial mais rápida (que corresponde a uma constante de tempo menor) pode ser desprezado. Isto é, $s_1$, estiver localizado muito mais perto do eixo j0 do que $s_2$, (o que significa $\zeta \gg 1$), é muito menor que o de $-s_2$, pois o termo contendo $s_1$ na Eq. (4-26) declá muito mais rapidamente do que o termo contendo $s_2$. Uma vez que o termo exponencial mais rápido desaparece, a resposta é similar à de um sistema de primeira ordem, e $C(s)/R(s)$ pode ser aproximada por $$ \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{\zeta \omega_n}{s + \zeta \omega_n - \omega_n \sqrt{\zeta^2 - 1}} \cdot \frac{1}{s + s_2} $$ Esta forma aproximada é uma consequência direta do fato de que os valores inicial e final tanto da $C(s)/R(s)$ original como da aproximação coincidem. Com a função de transferência $C(s)/R(s)$ aproximada, a resposta ao degrau unitário pode ser obtida como $$ C(s) = \frac{\zeta \omega_n}{s + \zeta \omega_n - \omega_n \sqrt{\zeta^2 - 1}} \cdot \frac{1}{1 + s_2} $$ para $t \geq 0$. Nesta última equação, os termos envolvendo cosseno se cancelam e dc/dt|te, calculado em t = tp, pode ser simplificado para dc/dt|te [ (sen ωntp) dbwn ] / | 1 - ζ2 = e-ζωntp = 0 Isto fornece a seguinte equação sen ωntp = 0 ou ωntp = 0, π, 2π, 3π, ... Como o instante do pico corresponde ao primeiro pico da ultrapassagem, ωntp = π. Portanto, tp = π / ωn (4-29) O instante do pico tp corresponde ao meio ciclo de frequência da oscilação amortecida. Máximo valor de ultrapassagem Mp: O máximo valor de ultrapassagem ocorre no instante do pico, ou seja, em t = tp = π/ωn. Portanto, da Eq. (4-21), Mp é obtido como sendo Mp = c(tp) - 1 = e-ζωntp [ cos π + ζ ( sen π ) / | 1 - ζ2 ] = e-ζπ/ | 1 - ζ2 (4-30) O valor máximo de ultrapassagem percentual é Mp x 100%. Tempo de acomodação ta: Para um sistema subamortecido de segunda ordem, a resposta transitória é obtida a partir da Eq. (4-21) como sendo c(t) = 1 - 1 / | 1 - ζ2 [ e-ζωnt + e-ωnt ζ / | 1 - ζ2 ] As curvas 1 ± e-ζωn/ | 1 - ζ2 são as envoltórias da resposta transitória a uma excitação em degrau unitário. A curva de resposta c(t) sempre permanece no interior do espaço delimitado pelo par de envoltórias, conforme mostrado na Fig. 4-14. A constante de tempo destas curvas envoltórias é 1/ζωn. A velocidade de decaimento da resposta transitória depende do valor da constante de tempo 1/ζωn. Para um dado valor de ωn, o tempo de acomodação ta é uma função do coeficiente de amortecimento ζ. Da Fig. 4-10 vê-se que para o mesmo valor de ωn e para a gama de valores de ζ entre 0 e 1, o tempo de acomodação ta, para um sistema levemente amortecido, é maior do que para um sistema adequadamente amortecido. Para um sistema superamortecido, ta se torna maior em casos de indicação de lentidão de resposta. O tempo de acomodação correspondente a uma faixa de tolerância de ±2% ou ±5% pode ser medido em termos da constante de tempo T = 1/ζωn, a partir das curvas da Fig. 4-16. Para os critérios de valores de ζ em torno de 0, a Fig. 4-15. Para 0 < ζ < 0.9, se for utilizado o critério de ±2%, então ta é aproximadamente quatro vezes o período natural não-amortecido, ta ≈ 4T. Se for utilizado o critério de ±5%, então ta = 37T para o mesmo aumento. No entanto, o tempo de acomodação alcança um mínimo para pequenos valores de ζ e cresce novamente para 1. Isto significa que o tempo de acomodação calculado do critério ±5% é do critério de ±2% é depois aumenta quase linearmente para grandes valores de ζ. As descontinuidades nas curvas da Fig. 4-15 segregam uma variação intrínseca no comportamento da equação utilizada para calcular o tempo de acomodação. Por conveniência, na comparação das respostas dos sistemas comumente definem-se os valores de tempo de acomodação ta como sendo ta = 4T = 4 / ζωn (critério de 2%) (4-31) ou ta = 3.7T = 3.7 / ζωn (critério de 5%) (4-32) Note-se que o tempo de acomodação é inversamente proporcional ao produto do coeficiente de amortecimento pela frequência natural não-amortecida do sistema. Como ωn é usualmente determinado a partir da especificação requerida de mínimo valor de ultrapassagem percentual, o tempo de acomoda- ção deve ter sido computado para o mesmo valor natural não-amortecido, ωn. Isto significa que a duração do período transitório é ser variada, com o modificar o valor máximo percentual de ultrapassagem. Este conceito é utilizado para construir a curva de as contrário para limitação do valor máximo de a transitória, uma faixa eficiente que mostra que se ζ e ωn são, então ta deve ser grande. Para limitar o valor máximo de ultrapassagem percentual, faz-se necessário aumentar ζ e, assim, aumentar ta. Portanto, há uma troca entre maior valor de ultrapassagem e taxa de decaimento mais rápida, para um sistema identificado para um mesmo valor natural Fig. 4-16. Convém observar que os valores de tempo de acomodação são menores quando o valor máximo de ultrapassagem percentual para resposta ao degrau está entre 25% e ±2,5%. Fig. 4-15 Curvas de tempo de acomodação ta versus ζ